Sejam alpha=(1,1),(0,1) e beta=(1,0,1),(0,1,0),(1,1,0) bases ordenadas de R^2 e R^3, respectivamente; e seja T: R^2 R^3 dada por T(x, y)=(y, x+y, x), encontre [T]beta^alpha.

Passo 1

O enunciado pede a matriz de representação [T]beta^alpha de TcolonR^2toR^3 nas bases ordenadas
alpha=(1,1),(0,1) no domínio e
beta=(1,0,1),(0,1,0),(1,1,0) no contradomínio.
Para isso precisamos:
  1. Aplicar T a cada vetor de alpha.
  2. Expressar cada T(alphai) como combinação linear dos vetores de beta.
  3. Colocar os coeficientes dessas combinações nas colunas de [T]beta^alpha.

Passo 2

Calcular T aplicado aos vetores de alpha.
Para alpha1=(1,1):
T(1,1) = (y,;x+y,;x)l|(x,y)=(1,1) = (1,;1+1,;1) = (1,2,1)
Para alpha2=(0,1):
T(0,1) = (1,;0+1,;0) = (1,1,0)

Passo 3

Expressar
Isso dá o sistema
Logo , .
Portanto as coordenadas de em são

Passo 4

Expressar
Isso dá o sistema
Logo , .
Portanto as coordenadas de em são

Passo 5

Montar a matriz [T]beta^alpha.
Cada coluna é o vetor de coordenadas de T(alphai) em beta, na ordem i=1,2.
Assim
[T]beta^alpha = 1 & 0 2 & 0 0 & 1

Resposta

[T]beta^alpha = 1 & 0 2 & 0 0 & 1

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