Investigando o N(T) verifique se T é injetora, dê uma base e dimensão de N(T) e exiba o teorema. Onde
T: R^3 R^3 dada por T(x, y, z)=(x+y, 2 y-2 x, z).

Passo 1

O enunciado pede para investigar o núcleo de Tcolon R^3toR^3 definido por
T(x,y,z)=(x+y,;2y-2x,;z),
verificando se T é injetora, e ainda apresentar uma base e a dimensão de N(T). Por fim, exibir o Teorema do Núcleo e Imagem (Teorema da Dimensão).

Passo 2

Para achar N(T), impomos
T(x,y,z)=(0,0,0),
isto é, resolvemos o sistema
x + y = 0, 2y - 2x = 0, z = 0

Passo 3

Da primeira equação temos y=-x. Substituindo na segunda:
2(-x)-2x=-4x=0implies x=0implies y=0,
e da terceira vem z=0. Logo a única solução é (x,y,z)=(0,0,0).

Passo 4

Como o único vetor em N(T) é o zero,
N(T)=(0,0,0),
então uma base de N(T) é o conjunto vazio e
dim N(T)=0
Pelo critério de núcleo trivial, T é injetora.

Passo 5

O Teorema do Núcleo e Imagem diz que, para toda transformação linear Tcolon Vto W,
dim V = dimker(T) + dimIm(T)
Aqui V=R^3, logo
3 = underbracedim N(T)0 + dimIm(T),
o que implica dimIm(T)=3, compatível com T sendo sobrejetora também.

Resposta

Núcleo N(T)=0, base vazia, dim N(T)=0, T injetora.

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