Investigando o
verifique se
é injetora, dê uma base e dimensão de
e exiba o teorema. Onde
dada por
.
Passo 1
O enunciado pede para investigar o núcleo de
definido por
verificando se
é injetora, e ainda apresentar uma base e a dimensão de
. Por fim, exibir o Teorema do Núcleo e Imagem (Teorema da Dimensão).
Passo 2
Para achar
, impomos
isto é, resolvemos o sistema
Passo 3
Da primeira equação temos
y=-x . Substituindo na segunda:
e da terceira vem
z=0 . Logo a única solução é
(x,y,z)=(0,0,0) .
Passo 4
Como o único vetor em
N(T) é o zero,
então uma base de
N(T) é o conjunto vazio e
Pelo critério de núcleo trivial,
T é injetora.
Passo 5
O Teorema do Núcleo e Imagem diz que, para toda transformação linear
Tcolon Vto W ,
Aqui
V=R^3 , logo
o que implica
dimIm(T)=3 , compatível com
T sendo sobrejetora também.
Resposta
Núcleo
N(T)=0 , base vazia,
dim N(T)=0 ,
T injetora.