Considere o plano W: x-y+z=0 e P: R^3 R^3 a transformação linear dado por P(r)= proj W r.
Encontre uma base beta=v1, v2, v3 ortogonal de R^3 com v1, v2 in W.

Passo 1

O enunciado pede uma base ortogonal beta=vec v1,vec v2,vec v3 de R^3 tal que vec v1,vec v2 pertençam ao plano
W:;x - y + z = 0
e vec v3 seja ortogonal a esse plano. Vamos primeiro identificar um vetor normal a W e depois encontrar dois vetores em W e ortogonalizá-los.

Passo 2

Um vetor normal a W é dado pelo gradiente da forma x - y + z, ou seja
vec n = (1,-1,1)
Como vec n é ortogonal a todo vetor em W, podemos definir
vec v3 = (1,-1,1)

Passo 3

Agora escolhemos dois vetores u1, u2 que satisfaçam a equação de W. Por exemplo, tomando
u1 = (1,0,-1), u2 = (0,1,1),
verificamos
1 - 0 + (-1) = 0 e 0 - 1 + 1 = 0, logo u1, u2 in W. Eles são independentes, mas não ortogonais entre si.

Passo 4

Aplicamos Gram–Schmidt em vec u1,vec u2 para obter vec v1 e vec v2 ortogonais:
vec v1 = vec u1 = (1,0,-1),
projvec v1vec u2 = vec u2cdotvec v1vec v1cdotvec v1,vec v1 = (0,1,1)cdot(1,0,-1)1^2+0^2+(-1)^2,(1,0,-1) = -12,(1,0,-1) = l(-tfrac12,0,tfrac12r)
Então
vec v2 = vec u2 - projvec v1vec u2 = (0,1,1) - l(-tfrac12,0,tfrac12r) = l(tfrac12,1,tfrac12r)
Multiplicando por 2 para limpar frações, podemos usar
vec v2 = (1,2,1)
Confirma-se vec v1cdotvec v2=0 e ambos estão em W.

Resposta

beta = l,vec v1=(1,0,-1),;vec v2=(1,2,1),;vec v3=(1,-1,1)r
é uma base ortogonal de R^3 com vec v1,vec v2in W.

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