Considere o plano
e
a transformação linear dado por
.
Encontre uma base
ortogonal de
com
.
Encontre uma base
Passo 1
O enunciado pede uma base ortogonal
de
tal que
pertençam ao plano
e
seja ortogonal a esse plano. Vamos primeiro identificar um vetor normal a
e depois encontrar dois vetores em
e ortogonalizá-los.
Passo 2
Um vetor normal a
é dado pelo gradiente da forma
, ou seja
Como
é ortogonal a todo vetor em
, podemos definir
Passo 3
Agora escolhemos dois vetores
que satisfaçam a equação de
. Por exemplo, tomando
verificamos
e
, logo
. Eles são independentes, mas não ortogonais entre si.
Passo 4
Aplicamos Gram–Schmidt em
para obter
e
ortogonais:
Então
Multiplicando por
para limpar frações, podemos usar
Confirma-se
e ambos estão em
.
Resposta
é uma base ortogonal de
com
.