Verifique se cada uma das seguintes afirmações é Verdadeira ou Falsa. Se for verdadeira, prove. Se for falsa, dê um contra-exemplo.
Seja uma transformação linear inversível. Então, se são ortogonais, então e também são ortogonais.
Passo 1
O enunciado pergunta se toda transformação linear inversível preserva ortogonalidade, ou seja, se (isto é, ) então sempre . O conteúdo envolvido é produto interno e propriedades de matrizes associadas a transformações lineares.
Passo 2
Recordando que, em coordenadas, para alguma matriz inversível . O produto interno canônico é
Logo, para temos
Passo 3
Para que preservasse ortogonalidade em todo caso, precisaríamos de
Isto equivale a exigir , ou seja, ser matriz ortogonal. Mas uma matriz inversível genérica não satisfaz . Portanto, em geral a afirmação é falsa.