Verifique se cada uma das seguintes afirmações é Verdadeira ou Falsa. Se for verdadeira, prove. Se for falsa, dê um contra-exemplo.
Seja T: R^n mapsto R^n uma transformação linear inversível. Então, se u, v in R^n são ortogonais, então T(u) e T(v) também são ortogonais.

Passo 1

O enunciado pergunta se toda transformação linear inversível
,T:R^ntoR^n preserva ortogonalidade, ou seja, se vec uperpvec v (isto é, lang<=vec u,vec vrang<==0) então sempre lang<= T(vec u),T(vec v)rang<==0. O conteúdo envolvido é produto interno e propriedades de matrizes associadas a transformações lineares.

Passo 2

Recordando que, em coordenadas, T(vec x)=Avec x para alguma matriz inversível A. O produto interno canônico é
lang<=vec x,vec yrang<==vec x^Tvec y
Logo, para vec u,vec vinR^n temos
lang<= T(vec u),T(vec v)rang<= =lang<= Avec u,Avec vrang<= =(Avec u)^T(Avec v) =vec u^TA^TA,vec v

Passo 3

Para que T preservasse ortogonalidade em todo caso, precisaríamos de
vec u^TA^TA,vec v=0 sempre que vec u^Tvec v=0
Isto equivale a exigir A^TA=I, ou seja, A ser matriz ortogonal. Mas uma matriz inversível genérica não satisfaz A^TA=I. Portanto, em geral a afirmação é falsa.

Passo 4

Vamos fornecer um contra-exemplo em R^2. Definimos
A = 1 & 0 1 & 1, T(vec x)=Avec x, vec u = 10, vec v = 01
Note que
lang<=vec u,vec vrang<= =1cdot0 + 0cdot1 =0,
ou seja, vec uperpvec v.

Passo 5

Calculando as imagens:
T(vec u)=Avec u = 11, T(vec v)=Avec v = 01
Então
lang<= T(vec u),T(vec v)rang<= =1cdot0 + 1cdot1 =1neq 0
Logo T(vec u) e T(vec v) não são ortogonais.

Resposta

A afirmação é falsa. Um contra-exemplo é
T(x,y)=(x,,x+y), vec u=(1,0), vec v=(0,1),
pois vec uperpvec v mas T(vec u)notperp T(vec v).

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