Exercício 7. Mostre que o valor do determinante
|ccc sen theta & cos theta & 0 -cos theta & sen theta & 0 sen theta-cos theta & sen theta+cos theta & 1 |
não depende de theta.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o determinante da matriz
M(theta)= sintheta & costheta & 0 -costheta & sintheta & 0 sintheta-costheta & sintheta+costheta & 1
não depende de theta. O conteúdo aqui é cálculo de determinante e usaremos expansão por cofactores (menores) junto com a identidade trigonométrica sin^2theta+cos^2theta=1.

Passo 2

Vamos expandir det M(theta) pela terceira coluna. Como os dois primeiros elementos da coluna são zero, só resta o termo da entrada na posição (3,3). Logo,
det M(theta) =1cdot C3,3,
onde C3,3 é o cofactor de M3,3=1.

Passo 3

O cofactor C3,3 é dado por (-1)^3+3 vezes o determinante do menor 2times2 obtido eliminando linha 3 e coluna 3. Como (-1)^6=1, temos
C3,3 = sintheta & costheta -costheta & sintheta =sinthetacdotsintheta - (costheta)cdot(-costheta)

Passo 4

Calculando esse 2times2,
sin^2theta + cos^2theta =1
pela identidade pitagórica. Portanto C3,3=1.

Passo 5

Juntando tudo, det M(theta)=1cdot C3,3=1. Concluímos que o determinante é constante e igual a 1, sem depender de theta.

Resposta

O determinante vale sempre 1.

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