Determine para quais valores de a, b e c o sistema linear
2 x-y+3 z=a
x+2 y+z=b
7 x+y+9 z=c
tenha:
(a) solução única;
(b) infinitas soluções;
(c) nenhuma solução.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear
2x - y + 3z = a, x + 2y + z = b, 7x + y + 9z = c,
e nos pede para descobrir para quais valores de a,b,c o sistema tem solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução. O conteúdo aqui é teoria de sistemas lineares: usar determinante da matriz de coeficientes para ver invertibilidade.

Passo 2

Vamos montar a matriz dos coeficientes e calcular seu determinante De<a:
A = 2 & -1 & 3 1 & 2 & 1 7 & 1 & 9 ,
De<a = det(A) = 2det!2 & 11 & 9 -(-1)det!1 & 17 & 9 +3det!1 & 27 & 1
Agora, cada menor:
det!2 & 11 & 9 = 2cdot9 - 1cdot1 = 18 - 1 = 17,
det!1 & 17 & 9 = 1cdot9 - 1cdot7 = 9 - 7 = 2,
det!1 & 27 & 1 = 1cdot1 - 2cdot7 = 1 - 14 = -13
Substituindo em De<a:
De<a = 2cdot17 + 1cdot2 + 3cdot(-13) = 34 + 2 - 39 = -3
Como De<a = -3 neq 0, a matriz é invertível e o sistema tem sempre solução única para qualquer a,b,c.

Passo 3

Quando o determinante da matriz de coeficientes é não nulo, não há caso de infinitas soluções nem de sistema impossível. Portanto:

Resposta

(a) Solução única para todo (a,b,c)inR^3.
(b) Não existem valores de a,b,c que gerem infinitas soluções.
(c) Não existem valores de a,b,c que tornem o sistema impossível.

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