Considere os planos \alpha: x+y+z=4 e \beta: 2 x+y-2 z=0.
a) Determine a reta r dada pela interseção dos planos.
b) Determine a equação do plano que passa por A=(1,0,-1) e contém a reta r.
c) Escreva a equação da esfera que tem centro no ponto da reta r quando t=1 e é tangente à reta s: x-2=y=z-2.
Passo 1
O enunciado nos dá dois planos \alpha: x+y+z=4 e \beta: 2x+y-2z=0,
e pede:
– (a) a reta r que é a interseção de \alpha e \beta;
– (b) a equação do plano que passa por A=(1,0,-1) e contém essa reta r;
– (c) a equação da esfera cujo centro é o ponto de r para o parâmetro t=1 e que é tangente à reta s: x-2=y=z-2.
Para isso vamos usar:
– solução de sistema linear para achar r em forma paramétrica;
– produto vetorial para obter o vetor normal do plano em (b);
– fórmula da distância de ponto a reta para encontrar o raio da esfera em (c).
Passo 2
Para achar a reta r=\alpha\cap\beta\) resolvemos o sistema
\[\begin{cases} x+y+z=4,\\\\ 2x+y-2z=0. \end{cases}
Para determinar o plano que contém r e passa por A=(1,0,-1) precisamos de dois vetores diretores no plano e então fazer o produto vetorial.
– Um vetor diretor de r é \mathbf{d}=(3,-4,1).
– Um vetor que liga um ponto de r a A pode ser, por exemplo, \overrightarrow{P_0A} onde P_0\in r em t=0 é P_0=(-4,8,0). Logo