Considere os planos \alpha: x+y+z=4 e \beta: 2 x+y-2 z=0.
a) Determine a reta r dada pela interseção dos planos.
b) Determine a equação do plano que passa por A=(1,0,-1) e contém a reta r.
c) Escreva a equação da esfera que tem centro no ponto da reta r quando t=1 e é tangente à reta s: x-2=y=z-2.

Passo 1

O enunciado nos dá dois planos \alpha: x+y+z=4 e \beta: 2x+y-2z=0,
e pede:
– (a) a reta r que é a interseção de \alpha e \beta;
– (b) a equação do plano que passa por A=(1,0,-1) e contém essa reta r;
– (c) a equação da esfera cujo centro é o ponto de r para o parâmetro t=1 e que é tangente à reta s: x-2=y=z-2.
Para isso vamos usar:
– solução de sistema linear para achar r em forma paramétrica;
– produto vetorial para obter o vetor normal do plano em (b);
– fórmula da distância de ponto a reta para encontrar o raio da esfera em (c).

Passo 2

Para achar a reta r=\alpha\cap\beta\) resolvemos o sistema \[\begin{cases} x+y+z=4,\\\\ 2x+y-2z=0. \end{cases}
Subtraindo a primeira equação da segunda obtemos
(2x+y-2z)-(x+y+z)=0-4 \;\Longrightarrow\; x-3z=-4 \;\Longrightarrow\; x=3z-4.
Substituindo em x+y+z=4\]: \[(3z-4)+y+z=4 \;\Longrightarrow\; y+4z=8 \;\Longrightarrow\; y=8-4z.\] Chamando \(z=t, temos a representação paramétrica
r:\quad \begin{cases} x=-4+3t,\\\ y=8-4t,\\\ z=t. \end{cases}

Passo 3

Para determinar o plano que contém r e passa por A=(1,0,-1) precisamos de dois vetores diretores no plano e então fazer o produto vetorial.
– Um vetor diretor de r é \mathbf{d}=(3,-4,1).
– Um vetor que liga um ponto de r a A pode ser, por exemplo, \overrightarrow{P_0A} onde P_0\in r em t=0 é P_0=(-4,8,0). Logo
\overrightarrow{P_0A}=(1-(-4),\,0-8,\,-1-0)=(5,-8,-1).
O vetor normal do plano é
\mathbf{n} =\mathbf{d}\times\overrightarrow{P_0A} =(3,-4,1)\times(5,-8,-1) =(12,8,-4),
que pode ser simplificado para \,(3,2,-1).
A equação do plano é, então,
3(x-1)+2(y-0)-1(z+1)=0 \;\Longrightarrow\; 3x+2y-z-4=0.

Passo 4

O centro da esfera é o ponto de r para t=1:
C=(-4+3\cdot1,\;8-4\cdot1,\;1) =(-1,4,1).
A esfera é tangente à reta s: x-2=y=z-2. Essa reta pode ser escrita
s:\;Q(u)=(u+2,\;u,\;u+2),
com vetor diretor \mathbf{v}=(1,1,1).
A distância do centro C a s é
\mathrm{dist}(C,s) =\frac{\big\|\,\overrightarrow{CQ_0}\times\mathbf{v}\big\|}{\|\mathbf{v}\|}
onde escolhemos Q_0=(2,0,2) (caso u=0).
\overrightarrow{CQ_0}=(-1-2,\;4-0,\;1-2)=(-3,4,-1),
\overrightarrow{CQ_0}\times\mathbf{v} =(-3,4,-1)\times(1,1,1)=(5,2,-7),
\|\,(5,2,-7)\|=\sqrt{25+4+49}=\sqrt{78}, \quad \|\mathbf{v}\|=\sqrt{3},
logo
\mathrm{dist}(C,s)=\frac{\sqrt{78}}{\sqrt{3}}=\sqrt{26}.
Esse é o raio da esfera. Portanto a equação da esfera é
(x+1)^2+(y-4)^2+(z-1)^2=26.

Resposta

a)
r:\quad \begin{cases} x=-4+3t,\\\ y=8-4t,\\\ z=t. \end{cases}
b)
3x+2y-z-4=0.
c)
(x+1)^2+(y-4)^2+(z-1)^2=26.

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