Determine o ponto da esfera dada pela equação x^{2}+y^{2}+z^{2}-8 x-2 y-10 z+33=0 mais próximo do ponto P=\left(\frac{16}{3}, \frac{11}{3}, \frac{23}{3}\right).

Passo 1

O enunciado pede o ponto da esfera mais próximo de P. Para isso precisamos usar a forma canônica da esfera — isto é, descobrir seu centro C e raio R completando quadrados na equação
x^{2}+y^{2}+z^{2}-8x-2y-10z+33=0
em seguida aplicar o fato de que, para um ponto P fora da esfera, o ponto mais próximo na superfície está na reta que liga o centro C a P.

Passo 2

Vamos completar os quadrados em x, y e z:
x^{2}-8x = (x-4)^{2}-16,\quad y^{2}-2y = (y-1)^{2}-1,\quad z^{2}-10z = (z-5)^{2}-25.
Substituindo na equação original:
(x-4)^{2}-16 + (y-1)^{2}-1 + (z-5)^{2}-25 + 33 = 0
\implies (x-4)^{2} + (y-1)^{2} + (z-5)^{2} -9 = 0
Logo a esfera tem centro
C = (4,1,5)
e raio
R = 3.

Passo 3

O vetor que vai de C até P é
\overrightarrow{CP} = \Bigl(\tfrac{16}{3}-4,\;\tfrac{11}{3}-1,\;\tfrac{23}{3}-5\Bigr) = \Bigl(\tfrac{4}{3},\,\tfrac{8}{3},\,\tfrac{8}{3}\Bigr).
O comprimento desse vetor é
\|\overrightarrow{CP}\| = \sqrt{\Bigl(\tfrac{4}{3}\Bigr)^{2} + \Bigl(\tfrac{8}{3}\Bigr)^{2} + \Bigl(\tfrac{8}{3}\Bigr)^{2}} = \sqrt{\tfrac{16+64+64}{9}} = \sqrt{\tfrac{144}{9}} =4.
Portanto o vetor unitário na direção de C para P é
\mathbf{u} = \frac{\overrightarrow{CP}}{\|\overrightarrow{CP}\|} = \Bigl(\tfrac{1}{3},\,\tfrac{2}{3},\,\tfrac{2}{3}\Bigr).

Passo 4

Como P está fora da esfera \|\overrightarrow{CP}\|=4>R=3, o ponto mais próximo na superfície é
C + R\,\mathbf{u} = (4,1,5) + 3\Bigl(\tfrac{1}{3},\,\tfrac{2}{3},\,\tfrac{2}{3}\Bigr) = (4+1,\;1+2,\;5+2) = (5,3,7).

Resposta

O ponto da esfera mais próximo de P é (5,3,7).

Exercícios relacionados