Um plano \pi passa pelo ponto A=(1,-1,0) e contém a reta r: x-1=\frac{y+1}{4}=z+8. Encontre a equação da esfera com centro C=(0,-2,1) e tangente ao plano \pi.

Passo 1

O enunciado pede a equação da esfera com centro em C=(0,-2,1) e que seja tangente ao plano \pi. Para isso vamos:
– determinar a equação de \pi sabendo que ela passa pelo ponto A=(1,-1,0) e contém a reta r.
– calcular a distância de C a \pi, que será o raio da esfera.

Passo 2

Primeiro escrevemos a reta r em forma paramétrica. Das igualdades
x-1=\frac{y+1}{4}=z+8=t
temos
x=t+1,\quad y=4t-1,\quad z=t-8.
Um ponto em r é P_0=(1,-1,-8) (situa-se em t=0) e seu vetor diretor é
\vec v=(1,4,1).

Passo 3

Para achar o normal de \pi precisamos de dois vetores no plano. Usamos \vec v e o vetor que liga A a P_0:
\vec w = P_0 - A = (1,-1,-8) - (1,-1,0) = (0,0,-8).
O vetor normal é o produto vetorial
\vec n = \vec v \times \vec w = (1,4,1)\times(0,0,-8) = (-32,8,0).
Podemos simplificar para \vec n =(-4,1,0).

Passo 4

A equação do plano \pi usando \vec n e o ponto A é
\vec n\cdot\bigl((x,y,z)-A\bigr)=0
ou seja
(-4,1,0)\cdot(x-1,y+1,z-0)=0
-4(x-1)+(y+1)=0
4x - y -5 = 0.

Passo 5

A distância de C=(0,-2,1) ao plano \pi:4x-y-5=0 é
d = \frac{\bigl|4\cdot0 -(-2)-5\bigr|}{\sqrt{4^2+(-1)^2}} = \frac{|2-5|}{\sqrt{17}} = \frac{3}{\sqrt{17}}.

Passo 6

Como a esfera é tangente a \pi, seu raio é r=d=\tfrac{3}{\sqrt{17}}. Logo a equação da esfera com centro C e raio r é
(x-0)^2 + (y+2)^2 + (z-1)^2 = \Bigl(\tfrac{3}{\sqrt{17}}\Bigr)^{2} = \frac{9}{17}.

Resposta

(x)^2 + (y+2)^2 + (z-1)^2 = \frac{9}{17}.

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