Considere o subespaço W de R^3 que é o plano de equação 2 x+y-3 z=0.
Determine uma base ortogonal w1, w2 de W.

Passo 1

O enunciado pede uma base ortogonal de WsubsetR^3 definido pelo plano
2x+y-3z=0
O conteúdo envolvido é subespaços em R^3 e o processo de Gram–Schmidt para obter vetores ortogonais a partir de dois vetores independentes em W.

Passo 2

Para achar dois vetores independentes em W, parametrizamos o plano. Por exemplo:
— Se tomarmos y=1 e z=0, da equação 2x+1-3cdot0=0 vem x=-tfrac12. Multiplicando por 2 para evitar frações, obtemos
v1 = (-1,,2,,0)
— Se tomarmos y=0 e z=1, da equação 2x+0-3cdot1=0 vem x=tfrac32. Multiplicando por 2, obtemos
v2 = (3,,0,,2)
Os vetores v1 e v2 são independentes e ambos satisfazem 2x+y-3z=0.

Passo 3

Aplicamos Gram–Schmidt: escolhemos
Em seguida, subtraímos de a projeção sobre :
onde
Logo
Então

Passo 4

Para simplificar, multiplicamos w2 por 5 e depois dividimos por 1 (qualquer escalar não nulo preserva ortogonalidade e pertença a W):
w2' = (12,,6,,10) Longrightarrow w2'' = (6,,3,,5)
Verificamos:
lang<= w1,w2''rang<= = (-1)cdot6 + 2cdot3 + 0cdot5 = -6 + 6 + 0 = 0,
e ambos satisfazem 2x+y-3z=0. Portanto w1,w2'' é uma base ortogonal de W.

Resposta

l,w1 = -120, w2 = 635r

Exercícios relacionados