Considere o subespaço
de
que é o plano de equação
.
Determine uma base ortogonal
de
.
Determine uma base ortogonal
Passo 1
O enunciado pede uma base ortogonal de
definido pelo plano
O conteúdo envolvido é subespaços em
e o processo de Gram–Schmidt para obter vetores ortogonais a partir de dois vetores independentes em
.
Passo 2
Para achar dois vetores independentes em
, parametrizamos o plano. Por exemplo:
— Se tomarmos e
, da equação
vem
. Multiplicando por 2 para evitar frações, obtemos
— Se tomarmos
— Se tomarmos
e
, da equação
vem
. Multiplicando por 2, obtemos
Os vetores
e
são independentes e ambos satisfazem
.
Passo 3
Aplicamos Gram–Schmidt: escolhemos
Em seguida, subtraímos de
a projeção sobre
:
onde
Logo
Então
Passo 4
Para simplificar, multiplicamos
por
e depois dividimos por
(qualquer escalar não nulo preserva ortogonalidade e pertença a
):
Verificamos:
e ambos satisfazem
. Portanto
é uma base ortogonal de
.