Considere os planos dados por pi1: x+2 y-3 z=4, pi2: 3 x-y+5 z=2 e pi3: 4 x+y+(a^2-14) z= a+2 onde a é um escalar. Determine os valores de a tais que
a) pi1 cap pi2 cap pi3=emptyset.
b) pi1 cap pi2 cap pi3 contém um único ponto.
c) pi1 cap pi2 cap pi3 contém ao menos dois pontos distintos. Interprete geometricamente o resultado.

Passo 1

O enunciado dá três planos
pi1: x+2y-3z=4, pi2:3x-y+5z=2, pi3:4x+y+(a^2-14)z=a+2
e pede os valores de a para que a interseção pi1cappi2cappi3 seja (a) vazia, (b) um ponto único ou (c) contenha pelo menos dois pontos. Vamos tratar isso como um sistema linear em (x,y,z), usar determinante para ver quando há solução única e analisar consistência nos casos singulares.

Passo 2

Formamos a matriz dos coeficientes
A= 1 & 2 & -3 3 & -1 & 5 4 & 1 & a^2-14
e calculamos
det A = 1 & 2 & -3 3 & -1 & 5 4 & 1 & a^2-14 =-7l(a^2-16r) =-7(a-4)(a+4)

Passo 3

Se det Aneq0, o sistema tem solução única (Cramer). Logo
det Aneq0Long<=ftrightarrow aneqpm4
é o caso em que pi1cappi2cappi3 contém exatamente um ponto.

Passo 4

Para a=4 temos a^2-14=2, de modo que pi3 vira
4x+y+2z=6
Note que somando pi1+pi2 obtemos
(x+2y-3z)+(3x-y+5z)=4+2 Longrightarrow 4x+y+2z=6,
ou seja, pi3 é exatamente a combinação linear pi1+pi2. Assim, quem satisfaz pi1 e pi2 satisfaz também pi3, e a interseção é justamente a reta pi1cappi2, com infinitos pontos.

Passo 5

Para a=-4 também vale a^2-14=2, mas agora o termo independente de pi3 é a+2=-4+2=-2, isto é
4x+y+2z=-2
Como a soma de pi1+pi2 4x+y+2z=6, o novo plano pi3 é paralelo a essa soma e deslocado, gerando contradição 0=8. Logo não há ponto comum.

Resposta

a) pi1cappi2cappi3=emptyset se a=-4.
b) pi1cappi2cappi3 contém um único ponto se aneqpm4.
c) pi1cappi2cappi3 contém infinitos pontos (pelo menos dois) se a=4. Geometricamente, para a=4 o plano pi3 coincide com a soma de pi1 e pi2, fazendo com que os três se cruzem ao longo da reta pi1cappi2.

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