Considere os planos dados por e onde é um escalar. Determine os valores de tais que
a) .
b) contém um único ponto.
c) contém ao menos dois pontos distintos. Interprete geometricamente o resultado.
Passo 1
O enunciado dá três planos
e pede os valores de para que a interseção seja (a) vazia, (b) um ponto único ou (c) contenha pelo menos dois pontos. Vamos tratar isso como um sistema linear em , usar determinante para ver quando há solução única e analisar consistência nos casos singulares.
Passo 2
Formamos a matriz dos coeficientes
e calculamos
det A = 1 & 2 & -3 3 & -1 & 5 4 & 1 & a^2-14 =-7l(a^2-16r) =-7(a-4)(a+4)
Passo 3
Se det Aneq0, o sistema tem solução única (Cramer). Logo
det Aneq0Long<=ftrightarrow aneqpm4
é o caso em que pi1cappi2cappi3 contém exatamente um ponto.
Passo 4
Para a=4 temos a^2-14=2, de modo que pi3 vira
4x+y+2z=6
Note que somando pi1+pi2 obtemos
(x+2y-3z)+(3x-y+5z)=4+2 Longrightarrow 4x+y+2z=6,
ou seja, pi3 é exatamente a combinação linear pi1+pi2. Assim, quem satisfaz pi1 e pi2 satisfaz também pi3, e a interseção é justamente a reta pi1cappi2, com infinitos pontos.
Passo 5
Para a=-4 também vale a^2-14=2, mas agora o termo independente de pi3 é a+2=-4+2=-2, isto é
4x+y+2z=-2
Como a soma de pi1+pi2 dá 4x+y+2z=6, o novo plano pi3 é paralelo a essa soma e deslocado, gerando contradição 0=8. Logo não há ponto comum.
Resposta
a) pi1cappi2cappi3=emptyset se a=-4.
b) pi1cappi2cappi3 contém um único ponto se aneqpm4.
c) pi1cappi2cappi3 contém infinitos pontos (pelo menos dois) se a=4. Geometricamente, para a=4 o plano pi3 coincide com a soma de pi1 e pi2, fazendo com que os três se cruzem ao longo da reta pi1cappi2.