Considere os planos pi1: x+y+z-6=0 e pi2: 3 x+2 y+z-10=0, e a reta r dada por y=-2 x+4 e z=x+2. Calcule pi1 cap pi2 cap r e interprete geometricamente o resultado.

Passo 1

O enunciado pede a interseção do conjunto formado pelos planos
pi1:x+y+z-6=0 pi2:3x+2y+z-10=0
e da reta
r:;y=-2x+4,;z=x+2
Conteúdo: interseção de planos e reta no espaço. Vamos parametrizar a reta e ver para quais parâmetros ela satisfaz as equações dos planos.

Passo 2

Parametrizamos r usando x=t. Então
x(t)=t, y(t)=-2t+4, z(t)=t+2

Passo 3

Substituímos em pi1:
x+y+z-6 = t + (-2t+4) + (t+2) -6 = (t-2t+t) + (4+2-6) = 0 + 0 = 0
Logo, para todo t, o ponto (x(t),y(t),z(t)) pertence a pi1. Assim rsubsetpi1.

Passo 4

Substituímos em pi2:
3x+2y+z-10 = 3t + 2(-2t+4) + (t+2) -10 = (3t-4t+t)+(8+2-10) = 0 + 0 = 0
Portanto, também rsubsetpi2.

Passo 5

Como r está contida em ambos os planos, a interseção
pi1 cap pi2 é exatamente a reta r. Consequentemente
pi1 cap pi2 cap r = r.
Geometricamente, os dois planos se cortam ao longo da reta r, e portanto essa reta é o conjunto de pontos comuns.

Resposta

pi1cappi2cap r = (x,y,z)mid x=t,;y=-2t+4,;z=t+2,;tinR,
isto é, a reta r inteira.

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