Use redução por linhas para mostrar que
lll 1 & 1 & 1 a & b & c a^2 & b^2 & c^2

Passo 1

Beleza, a questão é a seguinte: mostrar que o determinante
1 & 1 & 1 a & b & c a^2 & b^2 & c^2 ;=;(b-a)(c-a)(c-b)
Isso é sobre determinantes e redução por linhas. Para resolver a gente vai precisar de três ideias básicas:
  1. O teorema “det A = det Aᵀ” (pra poder trabalhar com linhas de um jeito mais fácil).
  2. A operação elementar “R_j ← R_j − R_i” não altera o valor do determinante.
  3. Se uma linha tem fator comum k, dá pra tirar esse k pra fora do determinante (porque det(k·linha) = k·det).

Passo 2

Primeiro, por que usar a transposta? É só pra a gente trabalhar “por linhas” numa forma mais direta. Como det A = det Aᵀ, define
A^T ;=; 1 & a & a^2 1 & b & b^2 1 & c & c^2 ,
e a gente vai reduzir essa Aᵀ por linhas.

Passo 3

Aplicamos as operações de linha que não mudam det:
R₂ ← R₂ − R₁
R₃ ← R₃ − R₁
Isso dá
1 & a & a^2 1-1 & b - a & b^2 - a^2 1-1 & c - a & c^2 - a^2 = 1 & a & a^2 0 & b-a & (b-a)(b+a) 0 & c-a & (c-a)(c+a)

Passo 4

Agora o determinante é fácil de calcular expandindo pela primeira coluna (só o elemento “1” na linha 1 é não-zero):
det = 1 times b-a & (b-a)(b+a) c-a & (c-a)(c+a)

Passo 5

No menor 2×2 da última expressão, observe que a 1ª linha tem fator comum (b-a) e a 2ª linha tem fator comum (c-a). Então puxamos esses fatores pra fora:
b-a & (b-a)(b+a) c-a & (c-a)(c+a) =(b-a)(c-a), 1 & b+a 1 & c+a
E esse 2×2 dá
1 & b+a 1 & c+a =1cdot(c+a);-;1cdot(b+a) =,c-b
Juntando tudo:
det = 1;times;(b-a)(c-a);(c-b) =(b-a)(c-a)(c-b)

Resposta

(b-a)(c-a)(c-b)

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