Um fabricante de móveis produz cadeiras, mesinhas de centro e mesas de jantar. Cada cadeira leva 10 minutos para ser lixada, 6 minutos para ser tingida e 12 minutos para ser envernizada. Cada mesinha de centro leva 12 minutos para ser lixada, 8 minutos para ser tingida e 12 minutos para ser envernizada. Cada mesa de jantar leva 14 minutos para ser lixada, 12 minutos para ser tingida e 18 minutos para ser envernizada. A bancada para lixar fica disponível 16 horas por semana, a bancada para tingir 11 horas por semana e a bancada para envernizar 19 horas por semana. Quantos móveis devem ser fabricados (por semana) de cada tipo para que as bancadas sejam plenamente utilizadas?

Passo 1

O enunciado pede a produção semanal de três tipos de móveis (cadeiras, mesinhas de centro e mesas de jantar) de modo que três recursos (bancadas de lixar, tingir e envernizar) sejam totalmente utilizados. O conteúdo envolvido é montagem e resolução de um sistema linear com três variáveis, aplicando técnicas de eliminação.

Passo 2

Definimos as variáveis:
x=número de cadeiras, y=número de mesinhas de centro, z=número de mesas de jantar úúú
As disponibilidades semanais em minutos são
960 min (lixar), 660 min (tingir), 1140 min (envernizar)
Como cada cadeira consome ,(10,6,12) minutos em (lixar, tingir, envernizar), cada mesinha ,(12,8,12) e cada mesa de jantar ,(14,12,18), montamos o sistema
10x +12y +14z =960, 6x +8y +12z =660, 12x+12y+18z =1140

Passo 3

Para simplificar, dividimos cada equação por um fator comum:
5x +6y +7z =480, 3x +4y +6z =330, 2x +2y +3z =190
Agora subtraímos a terceira da segunda:
(3x+4y+6z)-(2x+2y+3z)=330-190 Longrightarrow x+2y+3z=140

Passo 4

Usamos a equação x+2y+3z=140 e a primeira simplificada 5x+6y+7z=480. Multiplicando a primeira por 5 e subtraindo da segunda:
5x+6y+7z -l(5x+10y+15zr)=480-700 Longrightarrow -4y-8z=-220 Longrightarrow y+2z=55
Daí y=55-2z. Substituindo em x+2y+3z=140:
x+2(55-2z)+3z=140 Longrightarrow x=30+z

Passo 5

Finalmente usamos a terceira simplificada 2x+2y+3z=190 com x=30+z e y=55-2z:
2(30+z)+2(55-2z)+3z=190 Longrightarrow 60+2z+110-4z+3z=190 Longrightarrow 170+z=190 Longrightarrow z=20
Logo
y=55-2cdot20=15, x=30+20=50

Resposta

50 cadeiras, 15 mesinhas de centro e 20 mesas de jantar.

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