No Exercício 16 mostre que det(A)=0 sem calcular o determinante diretamente.
A=[rrrr-2 & 8 & 1 & 4 3 & 2 & 5 & 1 1 & 10 & 6 & 5 4 & -6 & 4 & -3]

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra mostrar que det(A)=0 sem ficar expandindo determinante. O assunto é Álgebra Linear, mais especificamente determinantes e dependência linear de linhas (ou colunas). Para resolver, a gente só precisa lembrar da propriedade: “se uma linha é combinação linear de outras, o determinante é zero” – daí basta achar essa combinação entre as linhas de A.

Passo 2

Antes de mais nada, o que é dependência linear no contexto de determinantes?
  • O determinante de uma matriz 4×4 pode ser visto como o “volume” do paralelepípedo gerado pelas suas 4 linhas (ou colunas).
  • Se uma linha estiver “colada” nas outras, ou seja, for soma (ou combinação) delas, esse volume cai pra zero.
  • Logo, se eu encontrar que uma linha é soma de outras duas, já garanto det(A)=0 sem precisar calcular termo a termo.

Passo 3

Vamos olhar as três primeiras linhas de A:
R1 = [-2,;8,;1,;4]
R2 = [;3,;2,;5,;1]
R3 = [;1,10,,6,,5]
Agora somo R1 + R2:
R1 + R2 = (-2+3,;8+2,;1+5,;4+1) = (1,10,6,5)
E isso dá exatamente R3. Em notação:
R3 = R1 + R2
Pronto, temos dependência linear entre as linhas.

Resposta

boxeddet(A) = 0

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