Considere os planos alpha: 2 x-3 y+z-1=0 e beta: x-2 y+3 z-10=0. Decida a posição relativa dos planos. Caso os planos sejam concorrentes determine a equação vetorial da reta de interseção sem resolver o sistema determinado pelos planos.

Passo 1

O enunciado dá dois planos em R^3:
alpha:;2x-3y+z-1=0 e beta:;x-2y+3z-10=0.
O conteúdo é posição relativa de planos e, se houver interseção, achar a reta de interseção em forma vetorial usando operações vetoriais (produto vetorial e fórmula vetorial para ponto na reta), sem resolver diretamente o sistema.

Passo 2

Comparar os vetores normais
n1=(2,-3,1) e n2=(1,-2,3).
Como não existe lambda tal que n2=lambdan1, os planos não são paralelos nem coincidentes. Logo eles se intersectam segundo uma reta.

Passo 3

O vetor direção da reta é
d=n1timesn2 = i&j&k 2&-3&1 1&-2&3 =(-7,-5,-1)
Podemos usar d=(7,5,1), multiplicando por -1, para ficar mais simples.

Passo 4

Para obter um ponto P0 na reta sem resolver o sistema, usamos a fórmula vetorial
P0 =d1,n2 - d2,n1|n1timesn2|^2 times(n1timesn2),
onde alpha!: n1cdotr=d1 com d1=1 e beta!: n2cdotr=d2 com d2=10.
Calcula-se
U=d1n2 - d2n1 =(1)(1,-2,3)-(10)(2,-3,1)=(-19,28,-7),
P0 =Utimes(n1timesn2)|n1timesn2|^2 =(-63,30,291)75 =l(-tfrac2125,tfrac25,tfrac9725r)

Passo 5

A equação vetorial da reta de interseção é
r(t) =P0 + t,d =l(-tfrac2125,tfrac25,tfrac9725r) + t,(7,5,1), tinR

Resposta

As superfícies são dois planos concorrentes cuja reta de interseção é
r(t) =l(-tfrac2125,tfrac25,tfrac9725r) + t,(7,5,1), tinR
Eles não são paralelos nem coincidentes; intersectam-se nessa reta.

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