Verifique se os planos pi1: x-2 y+3 z-1=0 e pi2: x-2 y+3 z-10=0 são paralelos e calcule a distância entre eles. Como você definiria a distância entre dois planos paralelos. Qual seria a distância entre dois planos alpha e beta não paralelos.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se os planos
pi1:x-2y+3z-1=0 e pi2:x-2y+3z-10=0 são paralelos e, em caso afirmativo, calcular a distância entre eles. O conteúdo envolve reconhecimento de vetores normais de planos e uso da fórmula de distância entre planos paralelos. Também se pede uma definição geral de distância entre dois planos paralelos e o que acontece no caso de planos não paralelos.

Passo 2

Para ver se as duas superfícies são paralelas, comparamos seus vetores normais. O vetor normal de
pi1 é n1=(1,-2,3) e o de
pi2 é n2=(1,-2,3). Como n1 é igual a n2, concluímos que pi1 e pi2 são de fato planos paralelos.

Passo 3

Para dois planos paralelos na forma
ax + by + cz + d1 = 0 e ax + by + cz + d2 = 0
a distância entre eles é
dist = l|d2-d1r|raiza^2+b^2+c^2
Aqui a=1, b=-2, c=3, d1=-1 e d2=-10. Logo,
dist(pi1,pi2) = l|-10 - (-1)r|raiz1^2+(-2)^2+3^2 = 9raiz14

Passo 4

Definimos a distância entre dois planos paralelos como o menor comprimento de segmento perpendicular a ambos que liga um ponto de um plano a um ponto do outro. Matematicamente usamos a fórmula acima, que mede essa distância ortogonal.

Passo 5

Se dois planos alpha e beta não são paralelos, eles se interceptam numa reta. Nesse caso a menor distância entre eles é zero, pois existem pontos comuns arbitrariamente próximos ao ponto de interseção.

Resposta

As superfícies pi1 e pi2 são paralelas e a distância entre elas é
9raiz14
A distância entre dois planos paralelos é dada por
l|d2-d1r|raiza^2+b^2+c^2,
enquanto para planos não paralelos essa distância mínima é zero (pois eles se intersectam).

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