Seja V o espaço vetorial de matrizes 2 times 2 com base
beta=[ll 1 & 0 0 & 0 ],[ll 0 & 1 0 & 0 ],[ll 0 & 0 1 & 0 ],[ll 0 & 0 0 & 1 ]
Se T: V^prime R^2 é dada por T([lla & b c & d])=(a+d, b+c),
Ache Talpha^beta onde alpha é a base canônica de R^2.
Se S: R^2 V e |S|beta^alpha=[rr2 & 1 1 & -1 -1 & 0 0 & 1]
Ache S e, se for possível, (a, b) tal que S(a, b)=[ll1 & 0 0 & 1].

Passo 1

O enunciado define o espaço V de matrizes 2times2 com base beta e pede a matriz de T:VtoR^2 em relação a beta (domínio) e alpha (base canônica de R^2), além de usar a matriz de S:R^2to V em bases alphatobeta para obter a forma explícita de S e, se possível, achar (a,b) tal que S(a,b)=I.

Passo 2

Para calcular Talpha^beta, aplicamos T a cada vetor da base beta:
E11=1&00&0, E12=0&10&0, E21=0&01&0, E22=0&00&1,
e temos
T(E11)=(1+0,;0+0)=(1,0),
T(E12)=(0+0,;1+0)=(0,1),
T(E21)=(0+0,;0+1)=(0,1),
T(E22)=(0+1,;0+0)=(1,0)

Passo 3

Cada coluna de Talpha^beta é a coordenada de T(Eij) na base canônica de R^2, logo
Talpha^beta=1&0&0&10&1&1&0

Passo 4

A matriz de S em bases alphatobeta é
Sbeta^alpha=2&11&-1-1&00&1,
onde a primeira coluna são as coordenadas de S(1,0) e a segunda de S(0,1) na base beta. Logo
S(1,0)=2E11+1E12-1E21+0E22=2&1-1&0,
S(0,1)=1E11-1E12+0E21+1E22=1&-10&1

Passo 5

Por linearidade, para (x,y)inR^2
S(x,y)=x,S(1,0)+y,S(0,1)=2x+y&x-y-x&y

Passo 6

Queremos (a,b) tal que
S(a,b)=2a+b&a-b-a&b=1&00&1,
o que gera o sistema
2a+b=1, a-b=0, -a=0, b=1
Da terceira equação vem a=0 e da quarta b=1, mas então a-b=-1neq0, absurdo. Logo não existe (a,b).

Resposta

Talpha^beta=1&0&0&10&1&1&0
A transformação é
S(x,y)=2x+y&x-y-x&y,
e não existe (a,b) tal que S(a,b)=1&00&1.

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