Determine a equação vetorial da reta de interseção entre os planos pi1: x-3 y+4 z=0 e pi2: 2 x-y-z=0, sem resolver sistemas.

Passo 1

O enunciado pede a equação vetorial da reta de interseção entre os planos
pi1: x - 3y + 4z = 0 e pi2: 2x - y - z = 0.
O conteúdo que vamos usar é: cada plano tem um vetor normal, a reta de interseção é paralela ao produto vetorial desses vetores normais e passa por um ponto comum aos dois planos.

Passo 2

Identificamos os vetores normais de cada plano a partir dos coeficientes de x,y,z:
n1 = (1,, -3,, 4) para pi1 e
n2 = (2,, -1,, -1) para pi2.

Passo 3

A direção da reta é dada por
d = n1 times n2
Calculando o produto vetorial:
d = i & j & k 1 & -3 & 4 2 & -1 & -1 = ( -3cdot(-1) - 4cdot(-1),; -(1cdot(-1) - 4cdot2),;1cdot(-1) - (-3)cdot2 ) = (7,,9,,5)

Passo 4

Como ambos os planos não têm termo constante, eles passam pela origem. Logo um ponto que pertence à reta de interseção é
P0 = (0,0,0)

Passo 5

A equação vetorial da reta, em forma paramétrica, é
r(t) = P0 + t,d = t,(7,,9,,5)

Resposta

r(t)=tlang<= 7,9,5rang<=.

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