Considere os planos:
& pi1: x+y+z=1 & pi2: x-y+z=-2 & pi3: x=z
(a) Determine pi1 cap pi2 cap pi3;
(b) Determine a posição relativa entre pi1, pi2 e pi3.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) o ponto de interseção pi1cappi2cappi3;
  • (b) a posição relativa entre as três retas de interseção (ou seja, se há planos paralelos, coincidentes ou se todos se cruzam num ponto).
Para resolver (a) vamos tratar as fronteiras pii como sistema linear de três equações em x,y,z e usar substituição.
Para (b) vamos analisar os vetores normais de cada plano e verificar paralelismo ou independência linear.

Passo 2

Escrevemos as equações das três faces:
(1);x + y + z = 1, (2);x - y + z = -2, (3);x - z = 0
Da (3) vem
z = x
Substituindo em (1) e (2):
& x + y + x = 1 Rightarrow 2x + y = 1, & x - y + x = -2 Rightarrow 2x - y = -2

Passo 3

Somando as duas últimas equações obtemos
(2x+y)+(2x-y)=1+(-2)Rightarrow 4x = -1Rightarrow x = -tfrac14
Então
y = 1 - 2x = 1 - 2l(-tfrac14r) = 1 + tfrac12 = tfrac32, z = x = -tfrac14
Logo
pi1cap pi2cap pi3 = l(-tfrac14,;tfrac32,;- tfrac14r)

Passo 4

Agora analisamos a posição relativa via vetores normais:
n1 = (1,1,1), n2 = (1,-1,1), n3 = (1,0,-1)
Nenhum par destes vetores é múltiplo escalar (logo não há planos paralelos nem coincidentes). Além disso, n1,n2,n3 é conjunto linearmente independente (determinante não nulo), o que garante que as três faces se cruzam num único ponto.

Resposta

(a) pi1cap pi2cap pi3 = l(-tfrac14,tfrac32,-tfrac14r)
(b) Não há planos paralelos nem coincidentes; cada par de planos intersecta-se numa reta e os três intersectam-se simultaneamente no ponto l(-tfrac14,tfrac32,-tfrac14r).

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