Sejam r:(x, y, z)=(1+t,-t, 1), t in R e s:(x, y, z)=(1,1,t-1).
(a) Determine a posição relativa entre as retas r e s.
(b) Determine o ângulo entre as retas r e s.

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo
O enunciado fornece duas retas em R^3 em forma paramétrica:
rcolon(x,y,z)=(1+t,,-t,,1) e scolon(x,y,z)=(1,,1,,u-1).
Pede-se (a) a posição relativa entre r e s (coincidentes, paralelas, concorrentes ou reversas) e (b) o ângulo entre elas.
Para isso precisaremos dos vetores diretores, testar paralelismo e intersecção e, finalmente, usar a fórmula do ângulo entre vetores.

Passo 2

Identificar pontos e vetores diretores
Escolhemos para r o ponto A=(1,0,1) (obtido em t=0) e vetor diretor
vec v = (1,-1,0)
Para s tomamos o ponto B=(1,1,-1) (obtido em u=0) e vetor diretor
vec w = (0,0,1)

Passo 3

Testar paralelismo
Retas são paralelas se os vetores diretores são múltiplos escalares.
Como não existe lambda tal que
(1,-1,0)=lambda,(0,0,1),
concluímos que r e s não são paralelas.

Passo 4

Testar intersecção
Para ver se há ponto em comum, igualamos coordenadas de r(t) e s(u):
1+t=1, -t=1, 1=,u-1
Da primeira equação vem t=0, mas então a segunda dá 0= -1, contradição. Logo, não existe solução e as retas não se intersectam.

Passo 5

Concluir posição relativa
Como não são paralelas e não se intersectam, as retas são reversas (skew lines) em R^3.

Passo 6

Calcular o ângulo entre as retas
O ângulo theta é o ângulo entre vec v e vec w, dado por
costheta = vec vcdotvec w|vec v|;|vec w|
Temos vec vcdotvec w =1cdot0 +(-1)cdot0+0cdot1=0, |vec v|=raiz1^2+(-1)^2+0^2=raiz2, |vec w|=1.
Portanto,
costheta =0 Longrightarrow theta = pi2;(ou (90^circ))

Resposta

(a) As retas são reversas (skew).
(b) O ângulo entre elas é pi2 (ou 90^circ).

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