Sejam
e
.
(a) Determine a posição relativa entre as retas
e
.
(b) Determine o ângulo entre as retas
e
.
(a) Determine a posição relativa entre as retas
(b) Determine o ângulo entre as retas
Passo 1
Resumo do enunciado e conteúdo
O enunciado fornece duas retas em em forma paramétrica:
e
.
Pede-se (a) a posição relativa entre e
(coincidentes, paralelas, concorrentes ou reversas) e (b) o ângulo entre elas.
Para isso precisaremos dos vetores diretores, testar paralelismo e intersecção e, finalmente, usar a fórmula do ângulo entre vetores.
O enunciado fornece duas retas em
Pede-se (a) a posição relativa entre
Para isso precisaremos dos vetores diretores, testar paralelismo e intersecção e, finalmente, usar a fórmula do ângulo entre vetores.
Passo 2
Identificar pontos e vetores diretores
Escolhemos para o ponto
(obtido em
) e vetor diretor
Escolhemos para
Para
tomamos o ponto
(obtido em
) e vetor diretor
Passo 3
Testar paralelismo
Retas são paralelas se os vetores diretores são múltiplos escalares.
Como não existe tal que
Retas são paralelas se os vetores diretores são múltiplos escalares.
Como não existe
concluímos que
e
não são paralelas.
Passo 4
Testar intersecção
Para ver se há ponto em comum, igualamos coordenadas de e
:
Para ver se há ponto em comum, igualamos coordenadas de
Da primeira equação vem
, mas então a segunda dá
, contradição. Logo, não existe solução e as retas não se intersectam.
Passo 5
Concluir posição relativa
Como não são paralelas e não se intersectam, as retas são reversas (skew lines) em .
Como não são paralelas e não se intersectam, as retas são reversas (skew lines) em
Passo 6
Calcular o ângulo entre as retas
O ângulo é o ângulo entre
e
, dado por
O ângulo
Temos
,
,
.
Portanto,
Portanto,
Resposta
(a) As retas são reversas (skew).
(b) O ângulo entre elas é (ou
).
(b) O ângulo entre elas é