Determine:
(a) ângulo entre a reta e o plano : .
(b) ângulo entre a reta e a reta .
Passo 1
O enunciado é de geometria analítica no espaço. Em (a) precisamos achar o ângulo entre a reta e o plano . Em (b) queremos o ângulo entre a reta e a reta . Vamos usar produto escalar, norma de vetores e as definições de ângulo entre reta–plano e reta–reta.
Passo 2
Para (a), chamar de o vetor diretor da reta e de um vetor normal ao plano.
O vetor diretor de é
pois varia em , em e fica constante.
O plano tem normal
já que a equação corresponde a .
A teoria diz que, se é o ângulo entre a reta e o plano, então
Passo 3
Calculando as quantidades:
vcdot n = 1cdot 1 + (-1)cdot 0 + 0cdot(-1) = 1,
|v| = raiz1^2 + (-1)^2 + 0^2 = raiz2,
|n| = raiz1^2 + 0^2 + (-1)^2 = raiz2
Logo
sinbeta = 1raiz2,raiz2 = 12,
e portanto
beta = arcsin!l(tfrac12r) = 30^circ
Passo 4
Para (b), usamos a definição de ângulo theta entre duas retas com vetores diretores v e w: