Determine:
(a) O ângulo entre a reta r:(x, y, z)=(1+t,-t, 1), t in R e o plano pi : x=z.
(b) O ângulo entre a reta r:(x, y, z)=(1+t,-t,-t), t in R e a reta s: x-12=y=z.

Passo 1

O enunciado é de geometria analítica no espaço. Em (a) precisamos achar o ângulo entre a reta rcolon (x,y,z)=(1+t,,-t,,1) e o plano picolon x=z. Em (b) queremos o ângulo entre a reta rcolon (x,y,z)=(1+t,,-t,,-t) e a reta scolon x-12=y=z. Vamos usar produto escalar, norma de vetores e as definições de ângulo entre reta–plano e reta–reta.

Passo 2

Para (a), chamar de v o vetor diretor da reta e de n um vetor normal ao plano.
O vetor diretor de r é
v = (1,,-1,,0),
pois varia x em +1, y em -1 e z fica constante.
O plano picolon x=z tem normal
n = (1,,0,,-1),
já que a equação x - z = 0 corresponde a ncdot (x,y,z)=0.
A teoria diz que, se beta é o ângulo entre a reta e o plano, então
sinbeta = l|vcdot nr||v|;|n|

Passo 3

Calculando as quantidades:
vcdot n = 1cdot 1 + (-1)cdot 0 + 0cdot(-1) = 1,
|v| = raiz1^2 + (-1)^2 + 0^2 = raiz2,
|n| = raiz1^2 + 0^2 + (-1)^2 = raiz2
Logo
sinbeta = 1raiz2,raiz2 = 12,
e portanto
beta = arcsin!l(tfrac12r) = 30^circ

Passo 4

Para (b), usamos a definição de ângulo theta entre duas retas com vetores diretores v e w:
costheta = l|vcdot wr||v|;|w|
Na reta r de (b), o vetor diretor é
v = (1,,-1,,-1)
Na reta s, escrevemos x-12=y=z=u, então
x = 1+2u, y=u, z=u,
e o vetor diretor de s é
w = (2,,1,,1)

Passo 5

Calculemos
vcdot w = 1cdot 2 + (-1)cdot 1 + (-1)cdot 1 = 2 - 1 - 1 = 0,
|v| = raiz1^2+(-1)^2+(-1)^2 = raiz3, |w| = raiz2^2+1^2+1^2 = raiz6
Assim
costheta = 0raiz3,raiz6 = 0 Longrightarrow theta = 90^circ

Resposta

(a) 30^circ
(b) 90^circ

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