Considere as retas
r:(x, y, z)=(-1,-1,4)+t(1,1,-1) s:(x, y, z)=(1,3,7)+s(-2,0,1)
Determine o plano beta que contém s e é paralelo a r.

Passo 1

O enunciado fornece as retas
r: (x,y,z)=(-1,-1,4)+t(1,1,-1),
s: (x,y,z)=(1,3,7)+s(-2,0,1),
e pede o plano beta que contém s e é paralelo a r. Para isso, usaremos vetores diretores, forma paramétrica de plano e produto vetorial para achar o vetor normal.

Passo 2

Extraímos da reta r o vetor diretor vr = (1,1,-1) e da reta s o vetor diretor vs = (-2,0,1). Como beta contém s, escolhemos como ponto do plano o ponto inicial de s: P0 = (1,3,7).

Passo 3

Como beta deve conter s e ser paralela a r, seus vetores diretores são vs e vr. A forma paramétrica do plano é
(x,y,z) = (1,3,7) + u(-2,0,1) + v(1,1,-1)

Passo 4

Para obter a forma cartesiana, calculamos o vetor normal do plano como
n = vs times vr = i & j & k -2 & 0 & 1 1 & 1 & -1 = (-1,-1,-2)
Este vetor n é ortogonal a vs e vr.

Passo 5

A equação cartesiana do plano com normal n=(n1,n2,n3) e que passa por P0=(x0,y0,z0) é
n1(x-x0) + n2(y-y0) + n3(z-z0) = 0
Substituindo n=(-1,-1,-2) e P0=(1,3,7), temos
-1(x-1) -1(y-3) -2(z-7) = 0
Longrightarrow -x+1 -y+3 -2z+14 = 0
Longrightarrow x + y + 2z - 18 = 0

Resposta

beta: x + y + 2z - 18 = 0

Exercícios relacionados