Considere os planos
(a) Mostre que
e
não são paralelos.
(b) Determine a equação da reta
.
(c) Calcule ang
( O ângulo entre dois planos é o ângulo entre seus vetores normais).
(d) Dê um exemplo de um plano perpendicular a
e a
.
(b) Determine a equação da reta
(c) Calcule ang
(d) Dê um exemplo de um plano perpendicular a
Passo 1
O enunciado pede para estudar dois planos
Queremos:
- Mostrar que não são paralelos.
- Achar a reta
. - Calcular o ângulo entre eles (ângulo entre vetores normais).
- Dar um exemplo de plano perpendicular a ambos.
Para isso vamos usar vetores normais, resolver sistema linear de forma paramétrica, produto escalar e produto vetorial.
Passo 2
O vetor normal de
é
e o de
é
Dois planos são paralelos iff seus normais são múltiplos. Aqui não existe
tal que
pois implicaria
,
,
, o que é impossível.
Logo, e
não são paralelos.
Logo,
Passo 3
Para achar
Tomamos (z=t]. Da primeira equação vem
Substituindo na segunda:
Então
Assim uma forma paramétrica da reta é
Substituindo na segunda:
Então
Assim uma forma paramétrica da reta é
Passo 4
O ângulo
entre planos é o mesmo entre
e
:
Calculamos
Logo
Passo 5
Um plano perpendicular a
e
precisa ter normal ortogonal a
e
. Tomamos
Então um exemplo de plano é
pois seu normal
satisfaz
e
.
Resposta
(a) Os normais não são múltiplos, logo não são paralelos.
(b)
(b)
(c)
(d) Um exemplo é