Considere os planos
alpha: x-y+3 z=1 beta: 2 x-3 y-z=2
(a) Mostre que alpha e beta não são paralelos.
(b) Determine a equação da reta alpha cap beta.
(c) Calcule ang (alpha, beta) ( O ângulo entre dois planos é o ângulo entre seus vetores normais).
(d) Dê um exemplo de um plano perpendicular a alpha e a beta.

Passo 1

O enunciado pede para estudar dois planos
alpha: x - y + 3z = 1,
beta: 2x - 3y - z = 2
Queremos:
  1. Mostrar que não são paralelos.
  2. Achar a reta alphacapbeta.
  3. Calcular o ângulo entre eles (ângulo entre vetores normais).
  4. Dar um exemplo de plano perpendicular a ambos.
    Para isso vamos usar vetores normais, resolver sistema linear de forma paramétrica, produto escalar e produto vetorial.

Passo 2

O vetor normal de alpha é
nalpha=(1,-1,3)
e o de beta é
nbeta=(2,-3,-1)
Dois planos são paralelos iff seus normais são múltiplos. Aqui não existe lambda tal que
(2,-3,-1)=lambda(1,-1,3),
pois implicaria 2=lambda, -3=-lambda, -1=3lambda, o que é impossível.
Logo, alpha e beta não são paralelos.

Passo 3

Para achar
Tomamos (z=t]. Da primeira equação vem

Substituindo na segunda:

Então

Assim uma forma paramétrica da reta é

Passo 4

O ângulo theta entre planos é o mesmo entre nalpha e nbeta:
costheta=|nalphacdotnbeta||nalpha||nbeta|
Calculamos
nalphacdotnbeta=1cdot2+(-1)(-3)+3cdot(-1)=2+3-3=2,
|nalpha|=raiz1^2+(-1)^2+3^2=raiz11, |nbeta|=raiz2^2+(-3)^2+(-1)^2=raiz14
Logo
costheta=2raiz11,raiz14=2raiz154,
theta=arccos!l(tfrac2raiz154r)

Passo 5

Um plano perpendicular a alpha e beta precisa ter normal ortogonal a nalpha e nbeta. Tomamos
m=nalphatimesnbeta =(1,-1,3)times(2,-3,-1)=(10,7,-1)
Então um exemplo de plano é
10x+7y - z = 0,
pois seu normal (10,7,-1) satisfaz
mcdotnalpha=0 e
mcdotnbeta=0.

Resposta

(a) Os normais não são múltiplos, logo não são paralelos.
(b)
(x,y,z)=(1,0,0)+t,(-10,-7,1), tinR
(c)
theta=arccos!l(tfrac2raiz154r)
(d) Um exemplo é
10x+7y - z = 0

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