Considere as retas
r & :(x, y, z)=(-1,-1,4)+t(1,1,-1) & s:(x, y, z)=(1,3,7)+s(-2,0,1)
(a) Mostre que r e s são retas reversas.
(b) Determine a equação da reta perpendicular e concorrente com r e com s (DICA: encontre o ponto P in r e o ponto Q in s tal que o segmento P Q seja perpendicular comum às retas r e s, ou seja, tal que P Q seja ortogonal a ambos os vetores diretores.)
(c) Calcule dist(r, s) e ang (r, s). (Se r e s são retas reversas e se ell é a reta perpendicular comum, então dist(r, s)=dist(P, Q) em que P=r cap ell e Q=s cap ell. Além disso, por um ponto P de r passa um reta s^prime que é paralela a s. O ângulo entre r e s é definido como sendo o ângulo entre r e s^prime ).
(d) Determine o plano alpha que contém r e é paralelo a s.
(e) Determine o plano beta que contém s e é paralelo a r.
(f) Determine o plano gamma que contém r e é perpendicular a alpha.
(g) Determine o plano omega que contém s e é perpendicular a beta.
(h) Determine a equação da reta gamma cap omega.

Passo 1

O enunciado dá duas retas no espaço:
r: (x,y,z)=(-1,-1,4)+t(1,1,-1), s: (x,y,z)=(1,3,7)+s(-2,0,1)
Queremos (a) mostrar que são reversas (isto é, não se intersectam e não são paralelas), (b) achar a reta perpendicular comum, (c) calcular distância e ângulo entre elas, (d–h) determinar vários planos associados e a interseção final de dois desses planos. Usaremos vetores diretores, produto escalar e vetorial e equações de plano.

Passo 2

Mostramos que r e s não são paralelas nem se intersectam. Os vetores diretores são
vr=(1,1,-1), vs=(-2,0,1)
Eles não são múltiplos um do outro, logo as retas não são paralelas. Para ver que não se intersectam, igualamos
(-1+t,,-1+t,,4-t)=(1-2s,;3,;7+s)
Da segunda coordenada vem -1+t=3implies t=4. Da primeira, -1+4=3=1-2simplies s=-1. Da terceira, 4-4=0neq7+(-1)=6. Contradição, logo não há interseção e as retas são reversas.

Passo 3

Buscamos Pin r e Qin s tais que PQ seja ortogonal a vr e a vs. Escrevemos
P=(-1+t,,-1+t,,4-t), Q=(1-2u,;3,;7+u),
e PQ=Q-P=(2-2u-t,;4-t,;3+u+t). Impomos
PQcdot vr=0, PQcdot vs=0,
isto é,
(2-2u-t)+(4-t)-(3+u+t)=0, -2(2-2u-t)+(3+u+t)=0
Da primeira vem u+t=1, da segunda vem 5u+3t=1. Resolve-se e obtém-se
t=2, u=-1
Assim
P=(1,1,2), Q=(3,3,6)

Passo 4

A reta perpendicular comum ell passa por P com direção PQ=(2,2,4), que simplifica para (1,1,2). Logo
ell:;(x,y,z)=(1,1,2)+lambda(1,1,2)

Passo 5

A distância entre r e s é |PQ|=raiz2^2+2^2+4^2=raiz24=2raiz6
O ângulo theta entre as retas é o ângulo entre vr e vs:
costheta =|;vrcdot vs;||vr||vs| =|(-2)+0+(-1)|raiz3,raiz5 =3raiz15, theta=arccos!l(tfrac3raiz15r)

Passo 6

O plano alpha contém r (tem direção vr) e é paralelo a s (tem direção vs), logo seu normal é
nalpha=vrtimes vs=(1,1,-1)times(-2,0,1)=(1,1,2)
Como passa por (-1,-1,4), sua equação é
x+y+2z-6=0

Passo 7

O plano beta contém s e é paralelo a r, tem o mesmo normal nbeta=(1,1,2). Como passa por (1,3,7),
x+y+2z-18=0

Passo 8

O plano gamma contém r e é perpendicular a alpha. Seu normal ngamma satisfaz ngammaperp vr e ngammaperp nalpha, logo
ngamma=vrtimes nalpha=(1,1,-1)times(1,1,2)=(3,-3,0)sim(1,-1,0)
Como contém (-1,-1,4), sua equação é
x-y=0

Passo 9

O plano omega contém s e é perpendicular a beta. Seu normal satisfaz nomegaperp vs e nomegaperp nbeta, logo
nomega=vstimes nbeta=(-2,0,1)times(1,1,2)=(-1,5,-2)
Como passa por (1,3,7), sua equação é
x-5y+2z=0

Passo 10

Para achar
Da primeira . Então a reta interseção é

Resposta

(a) São reversas porque vr e vs não são paralelos e não há solução comum.
(b) ell:(x,y,z)=(1,1,2)+lambda(1,1,2).
(c) dist(r,s)=2raiz6,;ang<=(r,s)=arccos!l(3/raiz15r)
(d) alpha:x+y+2z-6=0
(e) beta:x+y+2z-18=0
(f) gamma:x-y=0
(g) omega:x-5y+2z=0
(h) gammacapomega:(x,y,z)=(t,t,2t)

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