(a) Mostre que e são planos paralelos.
(b) Determine a reta perpendicular a e a e que passa pela origem.
(c) Calcule (OBS.: Note que a distância entre dois planos é a distância entre um ponto de um plano até o outro plano. Além disso, a distância entre dois planos é definida somente quando estes são paralelos.).
Passo 1
O enunciado dá dois planos
e pede: (a) mostrar que são paralelos, (b) achar a reta que é perpendicular a ambos e passa pela origem, (c) calcular a distância entre eles. Vamos usar conceitos de vetores normais, equação paramétrica de reta e fórmula da distância de pontos a planos.
Passo 2
Dois planos são paralelos se, e somente se, seus vetores normais são proporcionais.
O vetor normal de é
o de é
Note que
Como é múltiplo escalar de , concluímos que e são planos paralelos.
Passo 3
A reta perpendicular a ambos os planos deve ter direção paralela ao vetor normal comum . Como a reta passa pela origem, sua forma paramétrica é
Passo 4
Para calcular a distância entre planos paralelos usamos
onde escrevemos ambos com o mesmo normal n=(2,-1,1). Já temos alpha:2x-y+z=1. Dividindo a equação de beta por 2, obtemos