Considere os planos
alpha: 2 x-y+z=1 beta: 4 x-2 y+2 z=5
(a) Mostre que alpha e beta são planos paralelos.
(b) Determine a reta perpendicular a alpha e a beta e que passa pela origem.
(c) Calcule dist(alpha, beta) (OBS.: Note que a distância entre dois planos é a distância entre um ponto de um plano até o outro plano. Além disso, a distância entre dois planos é definida somente quando estes são paralelos.).

Passo 1

O enunciado dá dois planos
alpha: 2x - y + z = 1
beta: 4x - 2y + 2z = 5
e pede: (a) mostrar que são paralelos, (b) achar a reta que é perpendicular a ambos e passa pela origem, (c) calcular a distância entre eles. Vamos usar conceitos de vetores normais, equação paramétrica de reta e fórmula da distância de pontos a planos.

Passo 2

Dois planos são paralelos se, e somente se, seus vetores normais são proporcionais.
O vetor normal de alpha é
nalpha = (2,,-1,,1),
o de beta é
nbeta = (4,,-2,,2)
Note que
nbeta = 2,(2,,-1,,1) = 2,nalpha
Como nbeta é múltiplo escalar de nalpha, concluímos que alpha e beta são planos paralelos.

Passo 3

A reta perpendicular a ambos os planos deve ter direção paralela ao vetor normal comum n = nalpha. Como a reta passa pela origem, sua forma paramétrica é
r(t) = t,(2,,-1,,1), tinR

Passo 4

Para calcular a distância entre planos paralelos usamos
dist(alpha,beta) = l|d2 - d1r||n|,
onde escrevemos ambos com o mesmo normal n=(2,-1,1). Já temos alpha:2x-y+z=1. Dividindo a equação de beta por 2, obtemos
beta:2x - y + z = tfrac52
Logo d1=1, d2=tfrac52 e
|n| = raiz2^2 + (-1)^2 + 1^2 = raiz6
Assim
dist(alpha,beta) = l|tfrac52 - 1r|raiz6 = tfrac32raiz6 = 32raiz6 = raiz64

Resposta

(a) Os vetores normais são proporcionais, logo os planos são paralelos.
(b) A reta é r(t) = t,(2,-1,1).
(c) dist(alpha,beta) = raiz64

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