Os pontos A=(3,-2,2), B=(1,3,0), C=(3,2,4) e D=(-2,4,3) são coplanares? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado nos dá quatro pontos em R^3:
A=(3,-2,2), B=(1,3,0), C=(3,2,4), D=(-2,4,3),
e nos pergunta se eles são coplanares. Para isso, usamos o teste do produto escalar misto (ou triplo escalar) em vetores formados a partir de um mesmo vértice. Se o triplo escalar for zero, os pontos são coplanares; caso contrário, não são.

Passo 2

Escolhemos A como vértice comum e definimos os vetores
AB=B-A, AC=C-A, AD=D-A
Calculamos:
AB=(1-3,;3-(-2),;0-2)=(-2,5,-2),
AC=(3-3,;2-(-2),;4-2)=(0,4,2),
AD=(-2-3,;4-(-2),;3-2)=(-5,6,1)

Passo 3

Agora calculamos o produto vetorial ACtimesAD. Em coordenadas:
ACtimesAD =(4cdot1-2cdot6,;-l(0cdot1-2cdot(-5)r),;0cdot6-4cdot(-5)) =(-8,-10,20)

Passo 4

O triplo escalar é
l[AB,AC,ADr] =ABcdotl(ACtimesADr) =(-2)(-8)+5(-10)+(-2)(20) =16-50-40=-74

Passo 5

Como o triplo escalar é diferente de zero ( -74neq0), concluímos que os vetores AB, AC e AD não estão no mesmo plano. Portanto, os quatro pontos não são coplanares.

Resposta

Não. Os pontos A, B, C e D não são coplanares, pois o triplo escalar é -74neq0.

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