Considere os planos que passam por P=(1,1,1) e Q=(2,1,1) e distam 1 de r:(x, y, z)=(1,0,2)+t(1,0,2), t in R.
(a) Determine as equações gerais dos possíveis planos que satisfazem todas as condições do enunciado.
(b) Quantos planos existem?

Passo 1

O enunciado pede todos os planos que passam por P=(1,1,1) e por Q=(2,1,1) e cuja distância à reta
rcolon (x,y,z)=(1,0,2)+t,(1,0,2)
seja igual a 1.
Conteúdo: equação geral do plano, condição de paralelismo reta–plano e fórmula da distância ponto–plano.

Passo 2

Para que a distância de uma reta a um plano seja um valor não nulo constante, a reta deve ser paralela ao plano. Sejam
v=(1,0,2) o vetor diretor de r e n=(a,b,c) o vetor normal ao plano.
Paralelismo implica
ncdot v=0 Longrightarrow acdot1 + bcdot0 + ccdot2 = 0 ;Longrightarrow; a + 2c = 0

Passo 3

Como o plano contém P e Q, ele contém o vetor
PQ = Q - P = (2,1,1)-(1,1,1) = (1,0,0).
Logo o normal deve satisfazer
ncdotPQ=0 Longrightarrow acdot1 + bcdot0 + ccdot0 = 0 ;Longrightarrow; a=0
Juntando com a+2c=0 vem c=0. Assim
n=(0,b,0), bneq0.

Passo 4

A equação geral do plano é
0cdot x + b,y +0cdot z + d = 0 ;Longrightarrow; y + db = 0
Como P pertence ao plano, em P vale y=1, então
1 + db = 0 Longrightarrow db = -1
Escolhendo b=1 (qualquer escalar leva à mesma reta), obtemos
y - 1 = 0

Passo 5

Verificação da distância: um ponto qualquer de r tem coordenada y=0. O plano y-1=0 tem vetor normal unitário (0,1,0), logo a distância é
l|0 - 1r| = 1
Portanto satisfaz a condição.

Resposta

(a) O único plano é
y - 1 = 0
(b) Existe exatamente 1 plano.

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