Determine a interseção entre o plano pi: 2x-y+z=3 e a reta r: x=1+t, y=1+t, z=2t+3.

Passo 1

O enunciado pede a interseção entre o plano picolon 2x - y + z = 3 e a reta
rcolon x = 1 + t,; y = 1 + t,; z = 2t + 3.
O conteúdo aqui é encontrar o valor de t tal que o ponto genérico da reta satisfaça a equação do plano.

Passo 2

Escrevemos as coordenadas de um ponto genérico P(t) em r:
P(t) = l(x(t),y(t),z(t)r) = l(1+t,;1+t,;2t+3r)

Passo 3

Substituímos x(t), y(t) e z(t) na equação do plano:
2l(1+tr);-;l(1+tr);+;l(2t+3r);=;3

Passo 4

Simplificamos e resolvemos para t:
2+2t -1 -t +2t+3 = 3 Longrightarrow 4 + 3t = 3 Longrightarrow 3t = -1 Longrightarrow t = -tfrac13

Passo 5

Com t = -tfrac13, calculamos as coordenadas do ponto de interseção:
x = 1 + l(-tfrac13r) = tfrac23, y = 1 + l(-tfrac13r) = tfrac23, z = 2l(-tfrac13r) + 3 = -tfrac23 + 3 = tfrac73

Resposta

O ponto de interseção é l(tfrac23,,tfrac23,,tfrac73r).

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