Determine a posição relativa entre os planos abaixo:
(a) x-y+z=1 e x+y+z=3;
(b) 2x-y+z=1 e 3x-y+z=4.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a posição relativa entre dois pares de planos em R^3. O conteúdo é geometria analítica de planos, e vamos precisar extrair o vetor normal de cada plano e verificar se eles são colineares (caso em que os planos são paralelos ou coincidentes) ou não (caso em que os planos são secantes, intersectam numa reta).

Passo 2

Para (a) temos os planos pi1: x - y + z = 1 e pi2: x + y + z = 3. Os vetores normais são n1 = (1,-1,1) e n2 = (1,1,1). Para testarmos colinearidade, verificamos se existe lambda tal que n1 = lambda n2. Comparando componentes:
11 = 1, -11 = -1, 11 = 1,
como esses quocientes não são todos iguais, n1 e n2 não são colineares. Portanto, pi1 e pi2 são secantes e se intersectam em uma reta.

Passo 3

Para (b) temos os planos pi3: 2x - y + z = 1 e pi4: 3x - y + z = 4. Seus vetores normais são n3 = (2,-1,1) e n4 = (3,-1,1). Testando colinearidade:
23 neq -1-1 = 1,
logo não existe lambda que relacione n3 e n4. Assim, pi3 e pi4 também são secantes, intersectando-se em uma reta.

Resposta

(a) Secantes (intersectam em uma reta).
(b) Secantes (intersectam em uma reta).

Exercícios relacionados