Sejam r:(x, y, z)=(0,1,-1)+t(2,1,0), t in R e s:(x, y, z)=(4 t, 2 t+1,-t), t in R.
(a) Determine a posição relativa entre as retas r e s;
(b) Determine r cap s.

Passo 1

O enunciado nos dá duas retas em R^3:
rcolon (x,y,z)=(0,1,-1)+t,(2,1,0) e
scolon (x,y,z)=(4u,,2u+1,,-u).
O conteúdo é posição relativa de retas no espaço (paralelas, coincidentes, secantes ou reversas) e interseção de retas, que se resolve comparando vetores diretores e igualando as equações paramétricas.

Passo 2

Extraímos os vetores diretores:
vr=(2,1,0), vs=(4,2,-1)
Verificamos se são múltiplos escalares, isto é, existe lambda tal que vr=lambda,vs. Das duas primeiras componentes teríamos lambda= tfrac12 (pois 2=tfrac12cdot4 e 1=tfrac12cdot2), mas então a terceira daria 0=tfrac12cdot(-1)=-tfrac12, o que é falso. Logo, não são paralelas.

Passo 3

Como não são paralelas, podem ser secantes ou reversas. Para testar se se intersectam, igualamos
(0,1,-1)+t,(2,1,0) ;=;(4u,,2u+1,,-u)
Isto gera o sistema
2t = 4u, 1 + t = 2u + 1, -1 = -u
Da terceira equação vem u=1. Da primeira, 2t=4cdot1 leva a t=2. Substituindo na segunda, 1+2 = 2cdot1+1 3=3, consistente. Há solução única (t,u)=(2,1).

Passo 4

Como não há paralelismo e o sistema admite solução única, as retas são secantes (intersectam-se em um ponto).

Passo 5

O ponto de interseção é obtido em s para u=1:
(x,y,z)=(4cdot1,;2cdot1+1,;-1)=(4,3,-1)

Resposta

(a) As retas r e s são secantes (intersectam-se).
(b) rcap s=(4,3,-1)

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