Sejam e , .
(a) Determine a posição relativa entre as retas e s;
(b) Determine .
Passo 1
O enunciado nos dá duas retas em : e .
O conteúdo é posição relativa de retas no espaço (paralelas, coincidentes, secantes ou reversas) e interseção de retas, que se resolve comparando vetores diretores e igualando as equações paramétricas.
Passo 2
Extraímos os vetores diretores:
Verificamos se são múltiplos escalares, isto é, existe tal que . Das duas primeiras componentes teríamos (pois e ), mas então a terceira daria , o que é falso. Logo, não são paralelas.
Passo 3
Como não são paralelas, podem ser secantes ou reversas. Para testar se se intersectam, igualamos
Isto gera o sistema
Da terceira equação vem u=1. Da primeira, 2t=4cdot1 leva a t=2. Substituindo na segunda, 1+2 = 2cdot1+1 dá 3=3, consistente. Há solução única (t,u)=(2,1).
Passo 4
Como não há paralelismo e o sistema admite solução única, as retas são secantes (intersectam-se em um ponto).
Passo 5
O ponto de interseção é obtido em s para u=1:
(x,y,z)=(4cdot1,;2cdot1+1,;-1)=(4,3,-1)
Resposta
(a) As retas r e s são secantes (intersectam-se).
(b) rcap s=(4,3,-1)