Considere os planos \Pi e \Pi^{\prime} em \mathbb{E}^{3} dados pelas equações
5 x-y+3 z+10=0 \quad \text { e } \quad x+2 y-4 z-3=0
(a) Determine a reta de interseção desses planos.
(b) Determine o ângulo entre esses planos.
(c) Determine a reta \mathcal{R} \subset \mathbb{E}^{3} que é equidistante dos pontos A=(0,-1,1), B=(2,3,1) e C=(-4,1,3).
(d) Determine a projeção da reta \mathcal{R} do ítem anterior sobre o plano \Pi^{\prime}.

Passo 1

O enunciado dá dois planos em \mathbb{E}^3:
\Pi:\;5x - y + 3z + 10 = 0, \quad \Pi':\;x + 2y - 4z - 3 = 0.
Pede-se:
(a) reta \Pi\cap\Pi';
(b) ângulo entre \Pi e \Pi';
(c) reta \mathcal R equidistante de A=(0,-1,1), B=(2,3,1) e C=(-4,1,3);
(d) projeção ortogonal de \mathcal R sobre \Pi'.

Passo 2

Para a interseção, note as normais \mathbf n=(5,-1,3)\) e \(\mathbf n'=(1,2,-4)\). O vetor diretor é \[\mathbf d \;=\;\mathbf n\times\mathbf n' \;=\;\bigl(-2,\,23,\,11\bigr).
Buscamos um ponto P_0 em \Pi\cap\Pi'. Tomando x=0, resolvemos
\begin{cases} -\,y+3z+10=0,\\[0.3em] 2y-4z-3=0, \end{cases}
que dá y=-\tfrac{11}{2}\], \(z=-\tfrac{17}{2}. Logo
P_0=\Bigl(0,\,-\tfrac{11}{2},\,-\tfrac{17}{2}\Bigr).
Portanto
\Pi\cap\Pi':\quad(x,y,z) =P_0 + t\,\mathbf d =\bigl(0,-\tfrac{11}{2},-\tfrac{17}{2}\bigr) + t\,(-2,\,23,\,11).]

Passo 3

O ângulo \theta entre planos é o mesmo entre as normais, com
\cos\theta =\frac{|\mathbf n\cdot\mathbf n'|}{\|\mathbf n\|\|\mathbf n'\|} =\frac{|5\cdot1+(-1)\cdot2+3\cdot(-4)|}{\sqrt{35}\,\sqrt{21}} =\frac{9}{\sqrt{735}}.
Assim
\theta = \operatorname{arccos}\!\Bigl(\tfrac{9}{\sqrt{735}}\Bigr).

Passo 4

A reta equidistante de A,B,C é a interseção dos planos mediadores de AB e de AC.
Para AB:
M_{AB}=(1,1,1),\quad \overrightarrow{AB}=(2,4,0),
\bigl(x-1,y-1,z-1\bigr)\cdot(2,4,0)=0 \;\Longrightarrow\; x+2y-3=0.
Para AC:
M_{AC}=(-2,0,2),\quad \overrightarrow{AC}=(-4,2,2),
\bigl(x+2,y,z-2\bigr)\cdot(-4,2,2)=0 \;\Longrightarrow\; 2x - y - z +6=0.
Resolvendo essas duas equações por parâmetro t=y,
x=3-2t,\quad y=t,\quad z=12-5t.
Logo
\mathcal R:\;(x,y,z)=(3,0,12)+t\,(-2,1,-5).

Passo 5

Para projetar \mathcal R ortogonalmente em \Pi':x+2y-4z-3=0,
  1. escolhemos W=(3,0,12)\in\mathcal R e direção \mathbf d=(-2,1,-5);
  2. escrevemos a normal \mathbf n'=(1,2,-4) e d'=-3;
  3. calculamos
\lambda =\frac{\mathbf n'\cdot W + d'}{\|\mathbf n'\|^2} =\frac{3+0-48-3}{21} =-\frac{16}{7}.
Então o ponto projetado é
W'=W-\lambda\,\mathbf n' =\Bigl(3+\tfrac{16}{7},\,0+\tfrac{32}{7},\,12-\tfrac{64}{7}\Bigr) =\Bigl(\tfrac{37}{7},\tfrac{32}{7},\tfrac{20}{7}\Bigr).
A direção projetada é
\mathbf d_{\perp} =\mathbf d-\frac{\mathbf d\cdot\mathbf n'}{\|\mathbf n'\|^2}\,\mathbf n' =\bigl(-\tfrac{62}{21},-\tfrac{19}{21},-\tfrac{25}{21}\bigr),\nequivalente a (-62,-19,-25).
Portanto a projeção é
\mathcal R' :\;(x,y,z) =\Bigl(\tfrac{37}{7},\tfrac{32}{7},\tfrac{20}{7}\Bigr) +s\,(-62,\,-19,\,-25).

Resposta

(a) \displaystyle (x,y,z)=(0,-\tfrac{11}{2},-\tfrac{17}{2})+t\,(-2,23,11).
(b) \displaystyle \theta=\operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{9}{\sqrt{735}}\bigr).
(c) \displaystyle (x,y,z)=(3,0,12)+t\,(-2,1,-5).
(d) \displaystyle (x,y,z)=(\tfrac{37}{7},\tfrac{32}{7},\tfrac{20}{7})+s\,(-62,-19,-25).

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