Refaça a questão da primeira prova usando, em todos os ítens, VETORES E AS FORMAS VETORIAIS DAS RETAS
i. Determine o reflexo
do ponto
com relação à reta
.
ii. Determine a equação da reta
que é paralela à
e passa pelo ponto
.
iii. Determine a equação da reta
que é perpendicular à
e passa pelo ponto
.
iv. Calcule a distância do ponto
a reta
sem fazer uso da fórmula de distância de ponto à reta e sem fazer uso da distância entre pontos.
v. Determine duas retas
e
em
que tenham
como uma de suas bissetrizes.
i. Determine o reflexo
ii. Determine a equação da reta
iii. Determine a equação da reta
iv. Calcule a distância do ponto
v. Determine duas retas
Passo 1
O enunciado pede várias coisas envolvendo o ponto
e a reta
Em todas as partes vamos usar a forma vetorial e os vetores normal e diretor de
:
– vetor normal , com
.
– vetor diretor , tal que
.
– vetor normal
– vetor diretor
Passo 2
(i) Reflexo
de
em
pela fórmula vetorial
Aqui
, logo
.
Passo 3
(ii) Reta
paralela a
e passando por
:
– o normal é o mesmo, .
– forma cartesiana:
– o normal é o mesmo,
– forma cartesiana:
Logo
Em forma vetorial podemos escrever
Passo 4
(iii) Reta
perpendicular a
e passando por
:
– como tem direção
, a reta perpendicular terá direção
.
– forma vetorial:
– como
– forma vetorial:
– forma cartesiana: direcional
⇒ normal à perpendicular é
. Em
:
Passo 5
(iv) Distância de
a
sem usar fórmula pronta de distância:
– note que o pé da perpendicular de
em
é o ponto médio de
e
, ou pela projeção
com
, dá
– note que o pé
– o vetor
.
– como , a distância de
a
é
– como
Passo 6
(v) Duas retas
e
que têm
como uma de suas bissetrizes.
Escolhemos uma reta simples qualquer que corta
em
.
As retas cujas bissetrizes são
Escolhemos uma reta simples qualquer
As retas cujas bissetrizes são
são
Estas duas retas passam por
e têm como uma de suas bissetrizes a reta
.
Resposta
i.
.
ii. (vetorial:
).
iii. (vetorial:
).
iv. .
v.
ii.
iii.
iv.
v.