Refaça a questão da primeira prova usando, em todos os ítens, VETORES E AS FORMAS VETORIAIS DAS RETAS
i. Determine o reflexo A^{\prime} do ponto A=(-1,3) \in \mathbb{E}^{2} com relação à reta \mathcal{R}= \left\{(x, y) \in \mathbb{E}^{2} ; 3 x+2 y-16=0\right\}.
ii. Determine a equação da reta \mathcal{R} \backslash \backslash que é paralela à \mathcal{R} e passa pelo ponto A^{\prime}.
iii. Determine a equação da reta \mathcal{R}^{\perp} que é perpendicular à \mathcal{R} e passa pelo ponto A^{\prime}.
iv. Calcule a distância do ponto A^{\prime} a reta \mathcal{R} sem fazer uso da fórmula de distância de ponto à reta e sem fazer uso da distância entre pontos.
v. Determine duas retas \mathcal{R}^{\prime} e \mathcal{R}^{\prime \prime} em \mathbb{E}^{2} que tenham \mathcal{R} como uma de suas bissetrizes.

Passo 1

O enunciado pede várias coisas envolvendo o ponto A=(-1,3) e a reta
\mathcal{R} : 3x + 2y - 16 = 0
Em todas as partes vamos usar a forma vetorial e os vetores normal e diretor de \mathcal{R}:
– vetor normal \mathbf{n} = (3,2), com \|\mathbf{n}\|^2 = 3^2+2^2=13.
– vetor diretor \mathbf{d} = (2,-3), tal que \mathbf{d}\perp\mathbf{n}.

Passo 2

(i) Reflexo A' de A em \mathcal{R} pela fórmula vetorial
A' \;=\; A \;-\;2\,\frac{\mathbf{n}\cdot A -16}{\|\mathbf{n}\|^2}\,\mathbf{n}.
Aqui \mathbf{n}\cdot A = 3(-1)+2\cdot3=3, logo \mathbf{n}\cdot A -16=3-16=-13.
A' \;=\;(-1,3)\;-\;2\frac{-13}{13}(3,2)\;=\;(-1,3)+2\,(3,2)\;=\;(5,7).

Passo 3

(ii) Reta \mathcal{R}_{\parallel} paralela a \mathcal{R} e passando por A'=(5,7):
– o normal é o mesmo, \mathbf{n}=(3,2).
– forma cartesiana:
3x+2y + c =0,\quad\text{e em }(5,7):\;3\cdot5+2\cdot7+c=15+14+c=29+c=0\;\Rightarrow\;c=-29.
Logo
\mathcal{R}_{\parallel}:\;3x+2y-29=0.
Em forma vetorial podemos escrever
\bigl(x,y\bigr) = (5,7) + t\,(2,-3),\quad t\in\mathbb{R}.

Passo 4

(iii) Reta \mathcal{R}_{\perp} perpendicular a \mathcal{R} e passando por A'=(5,7):
– como \mathcal{R} tem direção \mathbf{d}=(2,-3), a reta perpendicular terá direção \mathbf{n}=(3,2).
– forma vetorial:
(x,y) = (5,7) + s\,(3,2),\quad s\in\mathbb{R}.
– forma cartesiana: direcional \mathbf{v}=(3,2) ⇒ normal à perpendicular é (-2,3). Em (5,7):
-2x+3y + k=0,\quad -2\cdot5+3\cdot7+k=-10+21+k=11+k=0\;\Rightarrow\;k=-11,
\mathcal{R}_{\perp}:\;-2x+3y-11=0\quad\bigl(\text{ou }2x-3y+11=0\bigr).

Passo 5

(iv) Distância de A' a \mathcal{R} sem usar fórmula pronta de distância:
– note que o pé H da perpendicular de A' em \mathcal{R} é o ponto médio de A e A', ou pela projeção H=A + t\mathbf{n} com t=(\mathbf{n}\cdot A -16)/\|\mathbf{n}\|^2=-1, dá
H = A -1\cdot\mathbf{n}=(-1,3)-(3,2)=(2,5).
– o vetor A'H = A' - H = (5,7)-(2,5) = (3,2)=\mathbf{n}.
– como \|\mathbf{n}\|=\sqrt{13}, a distância de A' a \mathcal{R} é
\|A'H\| = \|\mathbf{n}\| = \sqrt{13}.

Passo 6

(v) Duas retas \mathcal{R}' e \mathcal{R}'' que têm \mathcal{R} como uma de suas bissetrizes.
Escolhemos uma reta simples qualquer \mathcal{L}_2: x-4=0 que corta \mathcal{R} em P_0=(4,2).
As retas cujas bissetrizes são
\frac{3x+2y-16}{\sqrt{13}} \;=\;\pm \frac{x-4}{1}
são
\text{(i) }3x+2y-16 = +\sqrt{13}(x-4) \quad\Longrightarrow\quad (3-\sqrt{13})x +2y + (4\sqrt{13}-16)=0,
\text{(ii) }3x+2y-16 = -\sqrt{13}(x-4) \quad\Longrightarrow\quad (3+\sqrt{13})x +2y - (4\sqrt{13}+16)=0.
Estas duas retas passam por (4,2) e têm como uma de suas bissetrizes a reta \mathcal{R}:3x+2y-16=0.

Resposta

i. A'=(5,7).
ii. \mathcal{R}_{\parallel}:3x+2y-29=0 (vetorial: (5,7)+t(2,-3)).
iii. \mathcal{R}_{\perp}:-2x+3y-11=0 (vetorial: (5,7)+s(3,2)).
iv. \mathrm{dist}(A',\mathcal{R})=\sqrt{13}.
v.
\mathcal{R}':\;(3-\sqrt{13})x +2y + (4\sqrt{13}-16)=0,\quad \mathcal{R}'':\;(3+\sqrt{13})x +2y - (4\sqrt{13}+16)=0.

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