Usando derivadas, construa o gráfico da função:
Passo 1
O enunciado pede para construir o gráfico da função
usando derivadas. O conteúdo envolvido é cálculo diferencial: vamos precisar achar domínio, simetrias, limites (incluindo assíntotas verticais), derivada primeira para monotonia e extremos, derivada segunda para concavidade e pontos de inflexão, e analisar o comportamento em
.
Passo 2
Determinar domínio, intercepto e simetria.
O radical de índice admite todo real, exceto zero no denominador, isto é
, logo
O radical de índice
Para
temos
então passa pela origem. Como
a função é ímpar (simétrica em relação à origem).
Passo 3
Estudar limites em
para assíntotas verticais.
Para ,
dá
e
, logo
Para
Para
,
dá
e
, logo
Pela imparidade, em
ocorre o inverso:
Assim, há assíntotas verticais em
.
Passo 4
Calcular a derivada primeira e estudar monotonia.
Escrevendo ,
Escrevendo
O sinal de
vem de
(denominador sempre positivo no domínio). Zeros de
em
.
- Em
: , a função decresce. - Em
: , decrescente. - Em
: , crescente.
Pela imparidade, no ramohá espelho: cresce em e decresce em .
Passo 5
Classificar extremos.
Em (domínio
) temos
e passa de negativo para positivo
mínimo local.
Em passa de positivo para negativo
máximo local.
Os valores são
Em
Em
Os valores são
Passo 6
Calcular a derivada segunda e estudar concavidade.
A conta dá
A conta dá
O sinal de
muda em
e
(estes últimos em
e
).
Checando intervalos no domínio:
Checando intervalos no domínio:
- (-
, - ): (côncavo para cima), - (-
, - ): (côncavo para baixo), - (-
, ): , - (
, ): , - (
, ): , - (
, ): .
Logo há pontos de inflexão em, e .
Passo 7
Comportamento em
.
Para :
Para
que cresce sem limitar mas não tem reta oblíqua de aproximação (não é de grau
).
Resposta
O gráfico de
tem as seguintes características:
– Domínio .
– Ímpar (simétrico em relação à origem), intercepta a origem.
– Assíntotas verticais em e
, com
,
, e espelho em
.
– Monotonia: cresce em , decresce em
e em
, cresce em
, decresce em
.
– Extremos locais em (máximo
) e
(mínimo
).
– Concavidade alternada com pont. de inflexão em .
– Não há assíntota oblíqua; em ,
.
– Domínio
– Ímpar (simétrico em relação à origem), intercepta a origem.
– Assíntotas verticais em
– Monotonia: cresce em
– Extremos locais em
– Concavidade alternada com pont. de inflexão em
– Não há assíntota oblíqua; em