Usando derivadas, construa o gráfico da função:
y=\frac{x}{\sqrt[3]{x^{2}-1}}

Passo 1

O enunciado pede para construir o gráfico da função
y = \frac{x}{\sqrt[3]{x^2 - 1}}
usando derivadas. O conteúdo envolvido é cálculo diferencial: vamos precisar achar domínio, simetrias, limites (incluindo assíntotas verticais), derivada primeira para monotonia e extremos, derivada segunda para concavidade e pontos de inflexão, e analisar o comportamento em x\to\pm\infty.

Passo 2

Determinar domínio, intercepto e simetria.
O radical de índice 3 admite todo real, exceto zero no denominador, isto é x^2-1\neq0, logo
\text{Domínio} = (-\infty,-1)\cup(-1,1)\cup(1,\infty).í
Para x=0 temos
y(0)=\frac{0}{\sqrt[3]{-1}}=0,
então passa pela origem. Como
f(-x) = \frac{-x}{\sqrt[3]{(-x)^2-1}} = -\frac{x}{\sqrt[3]{x^2-1}} = -f(x),
a função é ímpar (simétrica em relação à origem).

Passo 3

Estudar limites em x=\pm1 para assíntotas verticais.
Para x\to1^+, x^2-1\to0^+ \sqrt[3]{x^2-1}\to0^+ e x\to1, logo
\lim_{x\to1^+}y = +\infty.
Para x\to1^-, x^2-1\to0^- \sqrt[3]{x^2-1}\to0^- e x\to1, logo
\lim_{x\to1^-}y = -\infty.
Pela imparidade, em x=-1 ocorre o inverso:
\lim_{x\to-1^+}y = +\infty, \qquad \lim_{x\to-1^-}y = -\infty.
Assim, há assíntotas verticais em x=\pm1.

Passo 4

Calcular a derivada primeira e estudar monotonia.
Escrevendo y = x\,(x^2-1)^{-1/3},
y' = (x^2-1)^{-1/3} + x\cdot\Bigl(-\tfrac13\Bigr)(x^2-1)^{-4/3}\cdot2x = \frac{x^2-3}{3\,(x^2-1)^{4/3}}.
O sinal de y' vem de x^2-3 (denominador sempre positivo no domínio). Zeros de y' em x=\pm\sqrt{3}.
  • Em (-1,1): x^2<1<3 \Rightarrow y'<0, a função decresce.
  • Em (1,\sqrt{3}): x^2<3 \Rightarrow y'<0, decrescente.
  • Em (\sqrt{3},\infty): x^2>3 \Rightarrow y'>0, crescente.
    Pela imparidade, no ramo (-\infty,-1) há espelho: cresce em (-\infty,-\sqrt{3}) e decresce em (-\sqrt{3},-1).

Passo 5

Classificar extremos.
Em x=\sqrt{3} (domínio (1,\infty)) temos y'=0 e passa de negativo para positivo \Rightarrow mínimo local.
Em x=-\sqrt{3} passa de positivo para negativo \Rightarrow máximo local.
Os valores são
y(\pm\sqrt{3}) = \pm\frac{\sqrt{3}}{\sqrt[3]{(\sqrt{3})^2-1}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{\sqrt[3]{2}} = \pm\sqrt{3}\,2^{-1/3}.

Passo 6

Calcular a derivada segunda e estudar concavidade.
A conta dá
y'' = \frac{2x\,(x^2-1)^{1/3}\,(9-x^2)}{3\,(x^2-1)^{8/3}} = \frac{2x\,(9-x^2)}{3\,(x^2-1)^{7/3}}.
O sinal de y'' muda em x=0 e x=\pm3 (estes últimos em (-\infty,-1) e (1,\infty)).
Checando intervalos no domínio:
  • (- \infty, - 3): y''>0 (côncavo para cima),
  • (- 3, - 1): y''<0 (côncavo para baixo),
  • (- 1, 0): y''>0,
  • ( 0, 1): y''<0,
  • ( 1, 3): y''>0,
  • ( 3, \infty): y''<0.
    Logo há pontos de inflexão em x=-3, x=0 e x=3.

Passo 7

Comportamento em x\to\pm\infty.
Para \lvert x\rvert\gg1:
y = \frac{x}{(x^2-1)^{1/3}} \sim \frac{x}{(x^2)^{1/3}} = x^{1/3},
que cresce sem limitar mas não tem reta oblíqua de aproximação (não é de grau 1).

Resposta

O gráfico de y=\dfrac{x}{\sqrt[3]{x^2-1}} tem as seguintes características:
– Domínio (-\infty,-1)\cup(-1,1)\cup(1,\infty).
– Ímpar (simétrico em relação à origem), intercepta a origem.
– Assíntotas verticais em x=-1 e x=1, com \lim_{x\to1^+}y=+\infty, \lim_{x\to1^-}y=-\infty, e espelho em -1.
– Monotonia: cresce em (-\infty,-\sqrt{3}), decresce em (-\sqrt{3},-1) e em (1,\sqrt{3}), cresce em (\sqrt{3},\infty), decresce em (-1,1).
– Extremos locais em x=-\sqrt{3} (máximo y=-\sqrt{3}\,2^{-1/3}) e x=+\sqrt{3} (mínimo y=+\sqrt{3}\,2^{-1/3}).
– Concavidade alternada com pont. de inflexão em x=-3,0,3.
– Não há assíntota oblíqua; em \lvert x\rvert\to\infty, y\sim x^{1/3}.

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