Considere um polígono de quatro lados. Mostre que o comprimento de qualquer uma de suas diagonais é menor do que a metade do seu perímetro.
Passo 1
O enunciado nos dá um quadrilátero
com perímetro
e pede para mostrar que cada diagonal (por exemplo,
ou
) é menor do que
. Vamos usar a desigualdade triangular em dois triângulos que contêm a diagonal considerada.
Passo 2
No triângulo
, a desigualdade triangular afirma que a soma de dois lados é maior que o terceiro. Assim,
Passo 3
No triângulo
, aplicamos a mesma ideia e obtemos
Passo 4
Somando as duas desigualdades dos Passos 2 e 3, vem
logo
Passo 5
Para a outra diagonal
, repetimos o processo nos triângulos
e
e obtemos analogamente
Resposta
As duas diagonais
e
do quadrilátero são menores do que metade do seu perímetro.