Considere um polígono de quatro lados. Mostre que o comprimento de qualquer uma de suas diagonais é menor do que a metade do seu perímetro.

Passo 1

O enunciado nos dá um quadrilátero ABCD com perímetro
P = AB + BC + CD + DA
e pede para mostrar que cada diagonal (por exemplo, AC ou BD) é menor do que tfracP2. Vamos usar a desigualdade triangular em dois triângulos que contêm a diagonal considerada.

Passo 2

No triângulo ABC, a desigualdade triangular afirma que a soma de dois lados é maior que o terceiro. Assim,
AC < AB + BC

Passo 3

No triângulo ADC, aplicamos a mesma ideia e obtemos
AC < AD + DC

Passo 4

Somando as duas desigualdades dos Passos 2 e 3, vem
2,AC < (AB + BC) + (AD + DC) = AB + BC + CD + DA = P,
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AC < P2

Passo 5

Para a outra diagonal BD, repetimos o processo nos triângulos ABD e BCD e obtemos analogamente
BD < P2

Resposta

As duas diagonais AC e BD do quadrilátero são menores do que metade do seu perímetro.

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