O segmento ligando os vértices não consecutivos de um polígono é chamado diagonal. Faça o desenho de um polígono de seis lados. Em seguida, desenhe todas as diagonais. Quantas diagonais terá um polígono de 20 lados? E de n lados ?

Passo 1

O enunciado pede que a gente desenhe um polígono de seis lados (hexágono) e suas diagonais, e depois calcule quantas diagonais tem um polígono de 20 lados e de n lados. O conteúdo é contagem de segmentos entre vértices não consecutivos: cada diagonal liga dois vértices que não são vizinhos nem iguais.

Passo 2

Num hexágono (seis vértices) cada vértice liga-se por diagonais a todos os outros menos a si mesmo e aos dois vizinhos. Logo, de cada vértice saem
6 - 3 = 3
diagonais. Como cada diagonal é contada duas vezes (uma de cada extremo), o total é
6 times 32 = 9

Passo 3

Para um polígono de 20 lados basta usar o mesmo raciocínio: de cada vértice saem
20 - 3 = 17
diagonais, contabilizadas dupla vez. Assim, o número total é
20 times 172 = 170

Passo 4

Generalizando para um polígono de n lados, de cada vértice partem
n - 3
diagonais e cada uma aparece duas vezes ao contar por vértice. Portanto, o total de diagonais é
n(n-3)2

Resposta

Hexágono: 9 diagonais.
Polígono de 20 lados: 170 diagonais.
Polígono de n lados: n(n-3)2 diagonais.

Exercícios relacionados