Resolva as inequações.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz: “Resolva a inequação
(2x + 1),(x^2 + x + 1) ;<=; 0
Isso faz parte de inequações de polinômios: a ideia é fatorar (já está fatorado), achar onde cada fator é zero e estudar o sinal de cada um. Precisamos de dois ingredientes:
  1. Saber quando o quadrado é positivo ou negativo (vamos calcular o discriminante).
  2. Saber o zero da parte linear e como ela muda de sinal.

Passo 2

Vamos olhar primeiro para
x^2 + x + 1
Para saber se esse cara zera em algum lugar, calculamos o discriminante
De
Como x^2 + x + 1 > 0 para todo real x , a parábola não tem raízes reais. Além disso, o coeficiente de é , ou seja, a parábola “vira para cima” e nunca cruza o eixo . Conclusão:

Passo 3

Agora o fator 2x + 1 = 0 Longrightarrow x = -tfrac12 . É uma reta que zera quando
Como a inclinação é positiva (coeficiente de é > 0), essa reta é negativa para e positiva para .

Passo 4

Queremos 2x + 1 <= 0 Longrightarrow x <= -tfrac12 . Já vimos que é sempre positivo, então o produto só pode ficar ≤0 quando o outro fator for negativo ou zero. Então basta resolver

Resposta

boxedx <= -tfrac12

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