Sobre a decomposição de Cholesky de uma matriz A de ordem n, é falso afirmar que:
[3] A pivotação parcial evita o cálculo da raiz quadrada de um número negativo.
B) Tal decomposição requer o cálculo de n raízes quadradas.
X) É necessário que A seja simétrica e definida positiva.
D) A matriz L é única, triangular inferior e os elementos da diagonal principal são positivos.
E) Para resolver um sistema linear A x=b, por meio de tal decomposição, é necessário realizar substituições sucessivas e substituições retroativas.

Passo 1

O enunciado pede que eu indique qual das afirmações sobre a decomposição de Cholesky de uma matriz A de ordem n é falsa. As alternativas dadas são:
A) A pivotação parcial evita o cálculo da raiz quadrada de um número negativo.
B) Tal decomposição requer o cálculo de n raízes quadradas.
X) É necessário que A seja simétrica e definida positiva.
D) A matriz L é única, triangular inferior e os elementos da diagonal principal são positivos.
E) Para resolver um sistema linear A x=b, por meio de tal decomposição, é necessário realizar substituições sucessivas e substituições retroativas.
Informações relevantes extraídas do enunciado: escolher a alternativa falsa entre as cinco listadas; A é matriz de ordem n.

Passo 2

O que é a decomposição de Cholesky (explicação didática e fórmulas usadas).
Quando existe a decomposição de Cholesky escrevemos
A = L L^\top,
onde L é uma matriz triangular inferior. Aqui:
  • A é a matriz dada (assumimos quadrada de ordem n),
  • L é triangular inferior (ou seja, L_{ij}=0 para i<j),
  • L^\top é a transposta de L.
A maneira construtiva (algoritmo direto) para encontrar L componente a componente usa as fórmulas abaixo (para k=1,2,\dots,n):
L_{kk} = \sqrt{A_{kk} - \sum_{j=1}^{k-1} L_{kj}^2},
e para i=k+1,\dots,n:
L_{ik} = \frac{1}{L_{kk}}\left(A_{ik} - \sum_{j=1}^{k-1} L_{ij}L_{kj}\right).
Explicando as letras: L_{kk} é o elemento da diagonal na linha e coluna k; L_{ik} é o elemento da linha i e coluna k de L; os somatórios \sum_{j=1}^{k-1} representam as contribuições já computadas nas colunas anteriores.
Essas fórmulas vêm simplesmente escrevendo as igualdades das entradas de A=LL^\top e isolando os termos. Vou mostrar isso de forma bem direta: a entrada (k,k) de LL^\top é \sum_{j=1}^k L_{kj}^2; escrevendo igual a A_{kk} e isolando L_{kk} obtemos a fórmula da raiz. A entrada (i,k) com i>k é \sum_{j=1}^k L_{ij}L_{kj}; igualando a A_{ik} e isolando L_{ik} dá a segunda fórmula.

Passo 3

Por que a existência exige A simétrica e definida positiva (explicação passo a passo).
  • Simetria: Se A = LL^\top então A^\top = (LL^\top)^\top = L^{\top\top} L^\top = LL^\top = A; logo A é necessariamente simétrica. Portanto ser simétrica é condição necessária.
  • Definida positiva: Para qualquer vetor não nulo x,
x^\top A x = x^\top LL^\top x = (L^\top x)^\top (L^\top x) = \|L^\top x\|^2 > 0
desde que L seja invertível (o que ocorre quando todos os L_{kk}>0). Assim A tem de ser definida positiva para que as raízes quadradas acima sejam de números estritamente positivos. Se A não for definida positiva, o termo A_{kk} - \sum_{j=1}^{k-1}L_{kj}^2 pode ficar negativo, e aí a raiz fica indefinida no campo real. Portanto a condição de A ser simétrica e definida positiva é necessária e é a hipótese clássica para garantir que a decomposição de Cholesky exista em \mathbb{R}.

Passo 4

Quantas raízes quadradas são necessárias? (contagem e interpretação).
Observe a fórmula
L_{kk} = \sqrt{A_{kk} - \sum_{j=1}^{k-1} L_{kj}^2},
que precisa ser aplicada para cada k=1,2,\dots,n. Ou seja, há exatamente um cálculo de raiz quadrada para cada elemento diagonal L_{11},L_{22},\dots,L_{nn}. Portanto a decomposição requer o cálculo de n raízes quadradas no total. Isso justifica que a alternativa B é verdadeira.

Passo 5

Unicidade e sinal positivo da diagonal (explicação).
Se A é simétrica definida positiva e exigimos que L seja triangular inferior com elementos diagonais positivos, então L fica único. Intuição: na construção recursiva acima em cada passo k o valor de L_{kk} é a raiz positiva do termo que aparece; se escolhêssemos a raiz negativa, o produto LL^\top não mudaria (pois (-L_{kk})^2=L_{kk}^2), mas a convenção padrão é tomar a raiz positiva para garantir unicidade e evitar sinais ambíguos. Logo a alternativa D está correta (matriz triangular inferior, diagonal positiva e unicidade sob essa convenção).

Passo 6

Como se usa a decomposição A=LL^\top para resolver Ax=b (passos e termos usados).
Para resolver Ax=b com A=LL^\top procedemos em dois passos:
  1. Substituições sucessivas (forward substitution): resolvemos L y = b para y encontrando y_1,y_2,\dots,y_n em ordem crescente. Cada equação tem apenas uma nova incógnita porque L é triangular inferior.
  2. Substituições retroativas (back substitution): resolvemos L^\top x = y para x, agora em ordem decrescente, porque L^\top é triangular superior.
Esses dois passos explicam a alternativa E, que é verdadeira.

Passo 7

O papel da pivotação parcial e por que a alternativa A é falsa (explicação direta e exemplo).
  • Pivotação parcial normalmente refere-se, no contexto de eliminação Gaussiana e LU, a trocar linhas para evitar divisores pequenos ou zero. Fazer apenas troca de linhas rompe a simetria de A (a troca de linhas sem trocar colunas não preserva A simétrica), então não é uma técnica correta para garantir uma Cholesky A=LL^\top.
  • Existem estratégias de pivotamento simétrico (trocar linhas e colunas simultaneamente — permutações simétricas) e decomposições alternativas como a decomposição A = LDL^\top com pivoteamento (ex.: Bunch–Kaufman) que tratam matrizes simétricas indefinidas, usando pivôs 1\times1 ou 2\times2. Essas técnicas, porém, não são a “pivotação parcial” típica e não transformam uma matriz indefinida em definida positiva — elas apenas permitem fatorar matrizes que não são definidas positivas, usando blocos que evitam tirar raízes de números negativos. Em particular, para Cholesky simples (o LL^\top com raízes), a pivotação parcial não é a solução padrão.
  • Exemplo numérico simples que mostra o problema: considere
A=\begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 2 & 1\end{pmatrix}.
Tente aplicar a fórmula de Cholesky: primeiro L_{11}=\sqrt{A_{11}}=\sqrt{1}=1. Depois
L_{21}=\frac{A_{21}}{L_{11}}=\frac{2}{1}=2,
e em seguida o termo para a segunda diagonal é
A_{22}-L_{21}^2 = 1 - 2^2 = -3,
cuja raiz é negativa (não existe raiz real). A matriz A é simétrica, mas não é definida positiva; a tentativa de Cholesky falha porque o radicando ficou negativo. Fazer uma pivotação parcial (trocar só linhas) não resolve a indefinição e ainda quebra a simetria necessária à decomposição LL^\top. Logo a afirmação “A pivotação parcial evita o cálculo da raiz quadrada de um número negativo” é falsa: pivotação parcial não é a ferramenta correta para garantir que os radicandos sejam não-negativos nem para preservar as condições da Cholesky padrão. Para tratar matrizes indefinidas usa-se outra abordagem (por exemplo LDL^\top com pivoteamento simétrico), não “pivotação parcial” no sentido de LU.]

Passo 8

Verificação rápida das demais alternativas (resumo final das verdades).
  • B é verdadeira porque calculamos exatamente n raízes (uma por diagonal).
  • X é verdadeira porque Cholesky exige A simétrica e definida positiva.
  • D é verdadeira conforme a construção recursiva com raiz positiva dá unicidade e diagonal positiva.
  • E é verdadeira porque a solução de Ax=b por Cholesky usa forward e backward substitution.

Resposta

A

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