Para as três questões abaixo, faça a decomposição L U com pivotação parcial da matriz do sistema linear
A x=b:\left[\begin{array}{cccc}0 & 1 & 3 & 2 \\\\ 4 & 2 & 0 & 1 \\\\ -2 & 1 & 5 & -3 \\\\ 1 & 2 & 5 & -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3} \\\ x_{4}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}10 \\\\ 20 \\\\ 30 \\\\ 40\end{array}\right].
Questão 2 Qual o valor de u_{44} ?
(A) -1,0000
(B) 3,6667
(C) 3,4286
(E) 3,3636
X 3,0000

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear A x=b com
A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 3 & 2\\[4pt] 4 & 2 & 0 & 1\\[4pt] -2 & 1 & 5 & -3\\[4pt] 1 & 2 & 5 & -1 \end{pmatrix},\qquad b=\begin{pmatrix}10\\[2pt]20\\[2pt]30\\[2pt]40\end{pmatrix}.
Pede-se fazer a decomposição L U com pivotação parcial (ou seja, usando permutações de linhas quando necessário). A pergunta específica da Questão 2 é: qual o valor de u_{44} ?\n
Informações relevantes: as operações de eliminação são feitas com pivotação parcial (escolha do maior valor absoluto na coluna como pivô), e devemos registrar os multiplicadores que formam L (com 1s na diagonal) enquanto construímos U. A decomposição com pivotação parcial costuma ser escrita como P A = L U, onde P é a matriz de permutação resultante das trocas de linhas.]

Passo 2

Rápida lembrança do método (para você aplicar na prova, explicadinho):\n
  • Em cada coluna j escolhemos como pivô, entre as linhas j,\dots,n, o elemento de maior valor absoluto; se esse pivô não estiver na linha j fazemos a troca de linhas (isso é a pivotação parcial). Essas trocas ficam registradas na matriz P.\n
  • Os multiplicadores são dados por \displaystyle m_{i j}=\frac{a_{i j}}{a_{j j}} (o valor antes de zerar), e usamos R_i \leftarrow R_i - m_{i j} R_j para zerar abaixo do pivô. Esses m_{i j} (para i>j) são exatamente os elementos de L na posição (i,j) — lembrando que as posições de L seguem a ordem já permutada das linhas.\n
  • No final obtemos U triangular superior; L tem 1s na diagonal e os multiplicadores abaixo. Com pivotação parcial a relação correta é P A = L U.

Passo 3

Começamos pela coluna 1. Olhamos os elementos da coluna 1 nas linhas 1 a 4:
\;0,\;4,\;-2,\;1.\n
O maior em valor absoluto é \;4 (na linha original 2). Portanto fazemos a troca de linha 1 \leftrightarrow 2. Depois da troca a matriz fica
\begin{pmatrix} 4 & 2 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 3 & 2\\[4pt] -2 & 1 & 5 & -3\\[4pt] 1 & 2 & 5 & -1 \end{pmatrix}.
Anote que essa troca entra em P; a ordem atual das linhas (referida nas próximas operações) é (2,1,3,4) em termos da numeração original.]

Passo 4

Agora zeramos abaixo do pivô \;a_{11}=4. Calculamos os multiplicadores na coluna 1 (sempre com a matriz já permutada):
m_{21}=\frac{0}{4}=0,\qquad m_{31}=\frac{-2}{4}=-0,5,\qquad m_{41}=\frac{1}{4}=0,25.
Explicando: m_{i1} é o número que multiplicado pela linha 1 é subtraído da linha i para zerar a entrada da coluna 1.\n
Aplicando as operações:
  • Linha 2: R_2 \leftarrow R_2 - 0\cdot R_1 permanece (0,\;1,\;3,\;2).\n
  • Linha 3: R_3 \leftarrow R_3 - (-0,5)\cdot R_1 = R_3 + 0,5\cdot R_1. Como 0,5\cdot R_1=(2,\;1,\;0,\;0,5), então nova linha 3 é (0,\;2,\;5,\;-2,5).\n
  • Linha 4: R_4 \leftarrow R_4 - 0,25\cdot R_1. Como 0,25\cdot R_1=(1,\;0,5,\;0,\;0,25), nova linha 4 é (0,\;1,5,\;5,\;-1,25).\n
    A matriz (após eliminação da coluna 1) é
\begin{pmatrix} 4 & 2 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 3 & 2\\[4pt] 0 & 2 & 5 & -2,5\\[4pt] 0 & 1,5 & 5 & -1,25 \end{pmatrix}.
E já podemos ir preenchendo L (na ordem permutada): na coluna 1 de L ficam m_{21}=0,\;m_{31}=-0,5,\;m_{41}=0,25.]

Passo 5

Agora coluna 2: consideramos submatriz das linhas 2 a 4 (na ordem atual). Os candidatos a pivô na coluna 2 são 1,\;2,\;1,5. O maior valor absoluto é 2 (na linha atual 3). Fazemos a troca de linha 2 \leftrightarrow 3 (na ordem atual). Depois da troca a matriz vira
\begin{pmatrix} 4 & 2 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 2 & 5 & -2,5\\[4pt] 0 & 1 & 3 & 2\\[4pt] 0 & 1,5 & 5 & -1,25 \end{pmatrix}.
Essa nova troca atualiza P; a ordem atual das linhas (em termos das originais) passou a ser (2,3,1,4).]

Passo 6

Zeramos abaixo do novo pivô a_{22}=2. Calculamos os multiplicadores:
m_{32}=\frac{1}{2}=0,5,\qquad m_{42}=\frac{1,5}{2}=0,75.
Aplicamos as eliminações:
  • Linha 3: R_3 \leftarrow R_3 - 0,5\cdot R_2. Aqui 0,5\cdot R_2=(0,\;1,\;2,5,\;-1,25). Subtraindo, nova linha 3 é (0,\;0,\;0,5,\;3,25).\n
  • Linha 4: R_4 \leftarrow R_4 - 0,75\cdot R_2. Aqui 0,75\cdot R_2=(0,\;1,5,\;3,75,\;-1,875). Subtraindo, nova linha 4 é (0,\;0,\;1,25,\;0,625).\n
    A matriz após esta etapa é
\begin{pmatrix} 4 & 2 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 2 & 5 & -2,5\\[4pt] 0 & 0 & 0,5 & 3,25\\[4pt] 0 & 0 & 1,25 & 0,625 \end{pmatrix}.
E na matriz L (na ordem permutada) colocamos m_{32}=0,5 na posição (3,2) e m_{42}=0,75 na posição (4,2).]

Passo 7

Coluna 3: entre as linhas 3 e 4 os candidatos são 0,5 e 1,25. O maior em valor absoluto é 1,25 (linha atual 4). Fazemos a troca 3 \leftrightarrow 4. A matriz fica
\begin{pmatrix} 4 & 2 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 2 & 5 & -2,5\\[4pt] 0 & 0 & 1,25 & 0,625\\[4pt] 0 & 0 & 0,5 & 3,25 \end{pmatrix}.
A ordem final das linhas (em termos das originais) é (2,3,4,1), que corresponde à matriz de permutação P usada.]

Passo 8

Zeramos abaixo do pivô a_{33}=1,25. Calculamos o multiplicador:
m_{43}=\frac{0,5}{1,25}=0,4.
Aplicando R_4 \leftarrow R_4 - 0,4\cdot R_3: como 0,4\cdot R_3=(0,\;0,\;0,5,\;0,25), subtraindo obtemos R_4=(0,\;0,\;0,\;3,0).\n
Agora a matriz está triangular superior (esta é U na ordem permutada):
U=\begin{pmatrix} 4 & 2 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 2 & 5 & -2,5\\[4pt] 0 & 0 & 1,25 & 0,625\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}.
Observe que os multiplicadores m_{43}=0,4 vai para L na posição (4,3) (novamente, tudo na ordem de linhas após permutações).]

Passo 9

Agora podemos escrever L (na ordem final das linhas usada em P A = L U). L tem 1s na diagonal e os multiplicadores obtidos nas posições abaixo da diagonal, na ordem das pivotações (em notação da ordem permutada):
L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] -0,5 & 0,5 & 1 & 0\\[4pt] 0,25 & 0,75 & 0,4 & 1 \end{pmatrix}.
E, recapitulação do U que encontramos (mostrada acima):
U=\begin{pmatrix} 4 & 2 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 2 & 5 & -2,5\\[4pt] 0 & 0 & 1,25 & 0,625\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}.
Esse U é a matriz triangular superior da decomposição com pivotação parcial; seu elemento na linha 4 coluna 4 (na ordem final) é o último pivô que sobrou após as eliminações.]

Passo 10

Comentário final de apoio (pra você fazer na prova): para achar u_{44} basta seguir as eliminações com pivotação parcial e observar o último pivô que resta na posição (4,4) da matriz triangular superior U. Aqui o cálculo direto das eliminações resultou em u_{44}=3. Mantenha sempre o registro dos multiplicadores para montar L e as trocas para montar P.

Resposta

3,0000

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