Suponha que a e b são inteiros tais que 7 divide a^2+b^2. Mostre que 7 divide a e 7 divide b.

Passo 1

O enunciado diz que a e b são inteiros tais que
7 mid a^2 + b^2
O conteúdo aqui é aritmética modular, em particular o estudo dos resíduos quadráticos módulo 7. Vamos mostrar que a única forma de a^2+b^2equiv0pmod7 é ter aequiv0pmod7 e bequiv0pmod7.

Passo 2

Calculemos todos os quadrados dos resíduos em 0,1,2,3,4,5,6 módulo 7:
0^2equiv0, 1^2equiv1, 2^2equiv4, 3^2equiv2, 4^2equiv2, 5^2equiv4, 6^2equiv1 pmod7
Logo o conjunto dos resíduos quadráticos em Z/7Z é
,0,1,2,4

Passo 3

Para ter
a^2 + b^2 equiv 0pmod7,
os resíduos de a^2 e b^2 devem somar zero em 0,1,2,4. As possíveis somas são
0+0=0,;0+1=1,;0+2=2,;0+4=4,; 1+1=2,;1+2=3,;1+4=5,; 2+2=4,;2+4=6,;4+4=1
(mod 7). A única que dá zero é 0+0. Portanto é necessário que
a^2equiv0pmod7 e b^2equiv0pmod7

Passo 4

Se a^2equiv0pmod7 então 7mid a. De modo análogo, 7mid b.

Resposta

7mid a e 7mid b.

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