Suponha que
e
são inteiros tais que 7 divide
. Mostre que 7 divide
e 7 divide
.
Passo 1
O enunciado diz que
e
são inteiros tais que
O conteúdo aqui é aritmética modular, em particular o estudo dos resíduos quadráticos módulo 7. Vamos mostrar que a única forma de
é ter
e
.
Passo 2
Calculemos todos os quadrados dos resíduos em
módulo 7:
Logo o conjunto dos resíduos quadráticos em
é
Passo 3
Para ter
os resíduos de
e
devem somar zero em
. As possíveis somas são
(mod 7). A única que dá zero é
. Portanto é necessário que
Passo 4
Se
então
. De modo análogo,
.