Considere o polinômio p(x)=x^2-2 x-3 e a matriz quadrada (cc-1 & 2 0 & 3). Mostre que p(A)=0 (matriz nula).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para
p(x)=x^2-2x-3
e
A = -1 & 2 [6pt]0 & 3,
temos
p(A)=0,
onde 0 é a matriz 2times2 nula. O conteúdo aqui é a avaliação de um polinômio em matriz, usando a regra
p(A)=A^2-2A-3I,
sendo I a matriz identidade.]

Passo 2

Vamos escrever explicitamente a fórmula que vamos usar:
p(A)=A^2-2A-3I,
com
I = 1 & 0 [4pt]0 & 1 ]

Passo 3

Calculemos primeiro
A^2 = -1 & 2 [4pt]0 & 3 -1 & 2 [4pt]0 & 3
Multiplicando linha por coluna, obtemos
A^2 = (-1)cdot(-1)+2cdot0 & (-1)cdot2+2cdot3 [6pt] 0cdot(-1)+3cdot0 & 0cdot2+3cdot3 = 1 & 4 [4pt] 0 & 9 ]

Passo 4

Em seguida,
-2A = -2 -1 & 2 [4pt]0 & 3 = 2 & -4 [4pt]0 & -6 ]

Passo 5

E também
-3I = -3 1 & 0 [4pt]0 & 1 = -3 & 0 [4pt]0 & -3 ]

Passo 6

Agora somamos todos os termos:
p(A)=A^2-2A-3I = 1 & 4 [4pt]0 & 9 +2 & -4 [4pt]0 & -6 +-3 & 0 [4pt]0 & -3
Somando entrada a entrada:
p(A)= 1+2-3 & 4-4+0 [4pt] 0+0+0 & 9-6-3 = 0 & 0 [4pt]0 & 0 ]

Resposta

p(A)=0,
ou seja, a matriz obtida é mesmo a matriz nula.

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