Sejam
uma matriz inversível e considere sua ajdunta dada por
, em que
, sendo
a matriz obtida a partir de
, eliminando a
-ésima linha e
-ésima coluna. Mostre que
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, em dimensão
, que a matriz original
multiplicada pela sua adjunta
onde
, dá o resultado
O conteúdo que vamos usar é a expansão de Laplace (cofatora) de
e a propriedade de determinante de matriz com colunas iguais.
Passo 2
Escrevemos o produto
. Seu elemento genérico na linha
e coluna
é
Passo 3
Para as entradas diagonais (
), temos
Mas essa soma é exatamente a expansão de Laplace de
ao longo da coluna
. Logo
Passo 4
Para as entradas fora da diagonal (
), escrevemos
Esse cálculo corresponde à expansão de um determinante de uma matriz obtida de
trocando colunas (ou seja, colocando duas colunas iguais), e sabemos que qualquer determinante com duas colunas iguais vale zero. Portanto
Passo 5
Juntando os resultados dos passos anteriores, a matriz
é