Sejam A=(lla11 & a12 a21 & a22) uma matriz inversível e considere sua ajdunta dada por Adj(A)=(ccDe<a11 & De<a21 De<a12 & De<a22), em que De<ai j=(-1)^i+j det(Ai j), sendo Ai j a matriz obtida a partir de A, eliminando a i-ésima linha e j-ésima coluna. Mostre que A cdot Adj(A)=det A cdot I2.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, em dimensão 2, que a matriz original
A = a11 & a12 a21 & a22
multiplicada pela sua adjunta
Adj(A) = De<a11 & De<a21 De<a12 & De<a22 ,
onde De<aij=(-1)^i+jdet(Aij), dá o resultado
AcdotAdj(A)=det(A),I2
O conteúdo que vamos usar é a expansão de Laplace (cofatora) de det(A) e a propriedade de determinante de matriz com colunas iguais.

Passo 2

Escrevemos o produto B = AcdotAdj(A). Seu elemento genérico na linha i e coluna j é
Bij =sumk=1^2ai k,l(Adj(A)r)k j =sumk=1^2aik,De<ak j

Passo 3

Para as entradas diagonais ( i=j), temos
Bii =sumk=1^2aik,De<ak i =sumk=1^2aik,(-1)^k+idetl(Ak ir)
Mas essa soma é exatamente a expansão de Laplace de det(A) ao longo da coluna i. Logo
B11=det(A), B22=det(A)

Passo 4

Para as entradas fora da diagonal ( ineq j), escrevemos
Bij =sumk=1^2aik,De<ak j =sumk=1^2aik,(-1)^k+jdetl(Ak jr)
Esse cálculo corresponde à expansão de um determinante de uma matriz obtida de A trocando colunas (ou seja, colocando duas colunas iguais), e sabemos que qualquer determinante com duas colunas iguais vale zero. Portanto
B12=0, B21=0

Passo 5

Juntando os resultados dos passos anteriores, a matriz B=A,Adj(A) é
B = B11 & B12 B21 & B22 = det(A) & 0 0 & det(A) =det(A),I2

Resposta

AcdotAdj(A)=det(A),I2

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