(vi) Se A B=0 e A neq 0, então B=0.

Passo 1

O enunciado pergunta se, em álgebra de matrizes, a condição AB=0 e Aneq0 implica necessariamente B=0. O conteúdo aqui é entender que o conjunto de matrizes não é um domínio integral e pode existir divisor de zero não nulo.

Passo 2

Um divisor de zero em um anel é um elemento não nulo que multiplicado por outro elemento não nulo dá zero. Para refutar a afirmação, basta apresentar matrizes A e B não nulas tais que AB=0.

Passo 3

Escolhemos matrizes em M2(R):
A = 1 & 0 0 & 0, B = 0 & 0 1 & 0
Note que Aneq0 (há elemento 1) e Bneq0 (há elemento 1).

Passo 4

Calculamos o produto:
AB = 1 & 0 0 & 0 0 & 0 1 & 0 = 1cdot0 + 0cdot1 & 1cdot0 + 0cdot0 0cdot0 + 0cdot1 & 0cdot0 + 0cdot0 = 0 & 0 0 & 0
Logo, AB=0 mesmo com Aneq0 e Bneq0.

Passo 5

Dado o contraexemplo, vimos que não vale a implicação AB=0 e Aneq0 Rightarrow B=0. Portanto, a afirmativa é falsa.

Resposta

A afirmativa é falsa. Anéis de matrizes admitem divisores de zero não nulos.

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