Sejam A=(ccca11 & a12 & a13 a21 & a22 & a23 a31 & a32 & a33) uma matriz inversível e considere sua ajdunta dada por Adj(A)=(cccDe<a11 & De<a21 & De<a31 De<a12 & De<a22 & De<a32 De<a13 & De<a23 & De<a33), em que De<ai j=(-1)^i+j det(Ai j), sendo Ai j a matriz obtida a partir de A, eliminando a i-ésima linha e j-ésima coluna. Mostre que A cdot Adj(A)=det A cdot I3.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, para uma matriz inversível
sua adjunta definida por
satisfaz
O conteúdo usado será a expansão de Laplace de determinantes e o fato de que uma matriz com duas linhas iguais tem determinante zero.

Passo 2

Escrevemos a entrada do produto . Como , temos
Mostraremos que

Passo 3

Caso . Então
é exatamente a expansão de Laplace de ao longo da linha . De fato, a fórmula de Laplace diz
Logo, quando , .

Passo 4

Caso . Considere a matriz obtida a partir de substituindo a linha pela linha de . Então tem duas linhas iguais e, portanto, . Expanda pela linha :
onde (pois a linha de veio da linha de ) e é o cofator de na posição . Mas, ao retirar a linha e a coluna de , obtém-se exatamente o mesmo sub-determinante de que define . Logo
e assim
Portanto, para , .

Resposta

Como mostramos que
concluímos

Exercícios relacionados