- Considere o polinômio
. Sabe-se que
é uma raiz. Utilize Briot-Ruffini para reduzir o grau do polinômio e, em seguida, aplique o método de Newton-Raphson para encontrar uma raiz do polinômio quociente, partindo de
.
Passo 1
O enunciado nos dá o polinômio
e informa que
é raiz. O objetivo é usar a divisão sintética (Briot–Ruffini) para obter o polinômio quociente e depois aplicar o método de Newton–Raphson nesse quociente, partindo de
, para encontrar outra raiz.
Passo 2
Fazemos a divisão sintética de
por
. Coeficientes de
:
.
– Baixamos
.
– Multiplicamos por :
. Somamos a
:
.
– Multiplicamos . Somamos a
:
.
– Multiplicamos . Somamos a
:
.
– Multiplicamos . Somamos a
:
.
– Multiplicamos por
– Multiplicamos
– Multiplicamos
– Multiplicamos
O resto é zero e o quociente é
Passo 3
Para aplicar Newton–Raphson em
, calculamos também
e usamos a fórmula de iteração
Passo 4
Com
:
Logo
Passo 5
Nova iteração a partir de
:
Passo 6
Observamos que as iterações vão se aproximando de
. Como
tem raiz dupla em
, a convergência é mais lenta, mas já vemos que a estimativa tende a
.
Resposta
A divisão sintética dá o quociente
e aplicando Newton–Raphson a partir de
obtemos aproximações
que convergem para a raiz
.