1. Considere o polinômio Q(x)=x^{4}-2 x^{3}-11 x^{2}+12 x+36. Sabe-se que x=3 é uma raiz. Utilize Briot-Ruffini para reduzir o grau do polinômio e, em seguida, aplique o método de Newton-Raphson para encontrar uma raiz do polinômio quociente, partindo de x_{0}=-2.5.

Passo 1

O enunciado nos dá o polinômio
Q(x)=x^{4}-2x^{3}-11x^{2}+12x+36
e informa que x=3 é raiz. O objetivo é usar a divisão sintética (Briot–Ruffini) para obter o polinômio quociente e depois aplicar o método de Newton–Raphson nesse quociente, partindo de x_{0}=-2,5, para encontrar outra raiz.

Passo 2

Fazemos a divisão sintética de Q(x) por (x-3). Coeficientes de Q: 1,\,-2,\,-11,\,12,\,36.
– Baixamos 1.
– Multiplicamos por 3: 1\cdot3=3. Somamos a -2: -2+3=1.
– Multiplicamos 1\cdot3=3. Somamos a -11: -11+3=-8.
– Multiplicamos -8\cdot3=-24. Somamos a 12: 12-24=-12.
– Multiplicamos -12\cdot3=-36. Somamos a 36: 36-36=0.
O resto é zero e o quociente é
R(x)=x^{3}+x^{2}-8x-12.

Passo 3

Para aplicar Newton–Raphson em R(x), calculamos também
R'(x)=3x^{2}+2x-8
e usamos a fórmula de iteração
x_{n+1}=x_{n}-\frac{R(x_{n})}{R'(x_{n})}.

Passo 4

Com x_{0}=-2,5:
R(-2,5)=(-2,5)^{3}+(-2,5)^{2}-8(-2,5)-12=-1,375,
R'(-2,5)=3\cdot(2,5)^{2}+2(-2,5)-8=5,75.
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x_{1}=-2,5-\frac{-1,375}{5,75}\approx-2,26087.

Passo 5

Nova iteração a partir de x_{1}:
R(-2,26087)\approx-0,35936,\quad R'(-2,26087)\approx2,8162,
x_{2}=-2,26087-\frac{-0,35936}{2,8162}\approx-2,13317.

Passo 6

Observamos que as iterações vão se aproximando de -2. Como R(x) tem raiz dupla em x=-2, a convergência é mais lenta, mas já vemos que a estimativa tende a -2.

Resposta

A divisão sintética dá o quociente
R(x)=x^{3}+x^{2}-8x-12
e aplicando Newton–Raphson a partir de x_{0}=-2,5 obtemos aproximações
x_{1}\approx-2,26087,\quad x_{2}\approx-2,13317,
que convergem para a raiz x\approx-2.

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