Determine se as séries a seguir convergem ou divergem.
(1 ponto ) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\operatorname{sen}(n)}{n \sqrt{n}}.

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(n)}{n\sqrt{n}}.
O conteúdo é teste de convergência de séries numéricas; usaremos comparação com p-séries e o critério de convergência absoluta.

Passo 2

Note que \lvert\sin(n)\rvert\le1 para todo n. Logo
\left\lvert\frac{\sin(n)}{n\sqrt{n}}\right\rvert \;\le\;\frac{1}{n^{3/2}}.
Mas
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{3/2}}
é uma p-série com p=\tfrac32>1, portanto converge.

Passo 3

Como
\sum_{n=1}^{\infty}\bigl|\sin(n)/(n\sqrt{n})\bigr|
converge, a série original converge absolutamente.

Resposta

A série converge absolutamente e, portanto, converge.

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