Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} uma função contínua satisfazendo x f(x)>0 para todo x \neq 0. Mostre que f(0)=0. Dê um exemplo de que este resultado falha se removemos a continuidade da função.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma função contínua \displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}
tal que \displaystyle x\,f(x)>0
para todo x\neq0.
Precisamos usar a definição de continuidade em 0 e o sinal de x\,f(x) para mostrar que obrigatoriamente \,f(0)=0.

Passo 2

Suponha, por contradição, que f(0)\neq0.
Então ou f(0)>0 ou f(0)<0.
Se f(0)>0, pela continuidade existe \delta>0 tal que para todo x com |x|<\delta temos \displaystyle f(x)>0.
Escolha um x negativo mas com |x|<\delta. Então x<0 e f(x)>0 implicam \displaystyle x\,f(x)<0,
o que contradiz a hipótese x\,f(x)>0.
Se f(0)<0, argumento análogo: pela continuidade existe \delta>0 com |x|<\delta implicando f(x)<0.
Tomando x>0 suficientemente pequeno dá \displaystyle x>0 e f(x)<0 x\,f(x)<0, contradição.
Como ambas as suposições f(0)>0 e f(0)<0 levam a contradição, só resta
f(0)=0.

Passo 3

Para ver que a continuidade é essencial, consideremos a função
\tilde f(x)= \begin{cases} 1,&x>0,\\\\ -1,&x<0,\\\\ 1,&x=0. \end{cases}
Então para todo x\neq0 tem-se \displaystyle x\,\tilde f(x)=|x|>0,
porém \tilde f(0)=1\neq0. Logo sem continuidade o resultado falha.

Resposta

\displaystyle f(0)=0\). Exemplo sem continuidade: \[\tilde f(x)= \begin{cases} 1,&x>0,\\\\ -1,&x<0,\\\\ 1,&x=0, \end{cases}
que satisfaz x\,\tilde f(x)>0\] para \(x\neq0, mas \tilde f(0)\neq0.

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