Mostre que f é contínua em x_{0} se e somente se para toda sequencia monótona \left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} em D(f) com x_{n} \rightarrow x_{0} tem-se que f\left(x_{n}\right) \rightarrow f\left(x_{0}\right).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dado f\colon D(f)\subseteq\mathbb{R}\to\mathbb{R} e um ponto x_{0}\in D(f), temos
f\text{ é contínua em }x_{0} \quad\Longleftrightarrow\quad \text{para toda sequência monótona }\bigl(x_{n}\bigr)\subset D(f)\text{ com }x_{n}\to x_{0}, \;f(x_{n})\to f(x_{0}).éíêó
Vamos usar a caracterização sequencial de continuidade e o fato de que toda sequência real limitada tem subsequência monótona.

Passo 2

(⇒) Suponha f contínua em x_{0}. Pela caracterização sequencial clássica, toda sequência \bigl(x_{n}\bigr) em D(f) que converge para x_{0} satisfaz
f(x_{n})\;\longrightarrow\;f(x_{0}).
Em particular, isto vale para quaisquer sequências monótonas que tendem a x_{0}. Logo a condição sobre sequências monótonas é satisfeita.

Passo 3

(⇐) Agora suponha que toda sequência monótona \bigl(x_{n}\bigr)\subset D(f) com x_{n}\to x_{0} satisfaz f(x_{n})\to f(x_{0}). Queremos provar que f é contínua em x_{0} em sentido sequencial, isto é, que qualquer sequência \bigl(x_{n}\bigr)\subset D(f) com x_{n}\to x_{0} também atende f(x_{n})\to f(x_{0}).

Passo 4

Seja \bigl(x_{n}\bigr) em D(f) com x_{n}\to x_{0}. Dado \varepsilon>0, suponha, por contradição, que não existe N tal que para todo n\ge N valha \bigl|f(x_{n})-f(x_{0})\bigr|<\varepsilon. Então existe uma subsequência \bigl(y_{n}\bigr)\subseteq\bigl(x_{n}\bigr) em que
\bigl|f(y_{n})-f(x_{0})\bigr|\;\ge\;\varepsilon \quad\text{para todo }n.
Como y_{n}\to x_{0}, a sequência \bigl(y_{n}\bigr) é limitada e, por Bolzano–Weierstrass, admite uma subsequência monótona \bigl(z_{n}\bigr) que ainda converge a x_{0}. Pela hipótese de monótona, temos
f(z_{n})\;\longrightarrow\;f(x_{0}).
Logo existe N_{1} tal que, para n\ge N_{1}, \bigl|f(z_{n})-f(x_{0})\bigr|<\varepsilon. Mas como \bigl(z_{n}\bigr) é subsequência de \bigl(y_{n}\bigr), isso contradiz \bigl|f(y_{n})-f(x_{0})\bigr|\ge\varepsilon. Portanto a suposição de negação falha e deve existir N com \bigl|f(x_{n})-f(x_{0})\bigr|<\varepsilon para todo n\ge N. Isso mostra f(x_{n})\to f(x_{0}).

Resposta

Concluímos que f é contínua em x_{0} se, e somente se, para toda sequência monótona \bigl(x_{n}\bigr)\subset D(f) com x_{n}\to x_{0} ocorre f(x_{n})\to f(x_{0}).

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