Considere os polinômios dos itens a seguir sobre o corpo
.
(a) Use o Critério de Eisenstein para mostrar que o polinômio
é irredutível sobre
.
(b) Usando o resultado do item anterior, mostre que o polinômio
não possui raízes racionais.
(a) Use o Critério de Eisenstein para mostrar que o polinômio
(b) Usando o resultado do item anterior, mostre que o polinômio
Passo 1
O enunciado dá o polinômio
sobre o corpo
e pede:
- (a) usar o Critério de Eisenstein para mostrar que
é irredutível em ; - (b) deduzir que
não tem raízes racionais.
Vamos precisar do enunciado do Critério de Eisenstein e do fato de que um polinômio de grauirredutível não pode ter fator linear em .
Passo 2
Aplicamos o Critério de Eisenstein com o primo
. Escrevendo explicitamente o coeficiente de
como zero, temos
Verificamos as condições para
:
.
não divide o coeficiente líder
.
.
divide todos os outros coeficientes:
Pelo Critério de Eisenstein,
Passo 3
Se
tivesse uma raiz racional
em forma irreta, então
seria um fator de
em
, o que daria uma fatoração não trivial. Mas isso contradiz a irredutibilidade de
obtida no passo anterior. Logo,
não possui raízes racionais.
Resposta
(a)
é irredutível sobre
pelo Critério de Eisenstein com
.
(b) Como é irredutível de grau
, não pode ter fator linear em
e, portanto, não possui raízes racionais.
(b) Como