Considere os polinômios dos itens a seguir sobre o corpo (Q,+, cdot).
(a) Use o Critério de Eisenstein para mostrar que o polinômio
p(x)=15 x^5+35 x^4-21 x^3+49 x-105
é irredutível sobre Q.
(b) Usando o resultado do item anterior, mostre que o polinômio
p(x)=15 x^5+35 x^4-21 x^3+49 x-105
não possui raízes racionais.

Passo 1

O enunciado dá o polinômio
p(x)=15x^5+35x^4-21x^3+49x-105
sobre o corpo (Q,+,cdot) e pede:
  • (a) usar o Critério de Eisenstein para mostrar que p(x) é irredutível em Q[x];
  • (b) deduzir que p(x) não tem raízes racionais.
    Vamos precisar do enunciado do Critério de Eisenstein e do fato de que um polinômio de grau >=2 irredutível não pode ter fator linear em Q[x].

Passo 2

Aplicamos o Critério de Eisenstein com o primo 7. Escrevendo explicitamente o coeficiente de x^2 como zero, temos
p(x)=15x^5+35x^4-21x^3+0x^2+49x-105
Verificamos as condições para p=7:
1. 7 não divide o coeficiente líder 15.
2. 7 divide todos os outros coeficientes:
7mid35,7mid(-21),7mid0,7mid49,7mid(-105)
3. 7^2=49 não divide o termo constante -105 (pois -105/49notinZ).
Pelo Critério de Eisenstein, p(x) é irredutível sobre Q.

Passo 3

Se p(x) tivesse uma raiz racional rs em forma irreta, então (x - tfracrs) seria um fator de p(x) em Q[x], o que daria uma fatoração não trivial. Mas isso contradiz a irredutibilidade de p(x) obtida no passo anterior. Logo, p(x) não possui raízes racionais.

Resposta

(a) p(x) é irredutível sobre Q pelo Critério de Eisenstein com p=7.
(b) Como p(x) é irredutível de grau 5, não pode ter fator linear em Q[x] e, portanto, não possui raízes racionais.

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