Dados f(x) e g(x) in A[x], determine h(x)=f(x)+g(x) e p(x)=f(x) g(x), onde:
(a) f(x)=-x^3-raiz5 x+1 e g(x)=pi x^2+3 x+2 em R[x]
(b) f(x)=x^2+3 x-4 e g(x)=x^2+2 x+3 em Z[x]
(c) f(x)=-x^2+3 x-4 e g(x)=x^2+2 x+3 em Z11[x]
(d) f(x)=3 x^3-12 x+2 e g(x)=23 x^2+4 x+3 em Q[x]

Passo 1

O enunciado pede para, em quatro casos distintos, calcular
– a soma de polinômios h(x)=f(x)+g(x),
– o produto de polinômios p(x)=f(x),g(x),
em diferentes anéis de polinômios ( R[x], Z[x], Z11[x] e Q[x]).
Para isso vamos usar a definição de soma termo a termo e a definição de produto que junta cada termo de f com cada termo de g, sempre coletando os monômios de mesmo grau. Em Z11[x] há também redução dos coeficientes módulo 11.

Passo 2

Caso (a): em R[x],
f(x)=-x^3-raiz5,x+1 e g(x)=pi,x^2+3,x+2.
– Soma termo a termo:
h(x)=(-x^3)+(pi x^2)+((3-raiz5)x)+(1+2) =-x^3+pi x^2+(3-raiz5)x+3
– Produto: multiplicamos cada termo de f por cada termo de g e agrupamos:
p(x) =-pi x^5-3x^4 -(raiz5,pi+2),x^3 +(pi-3raiz5),x^2 +(3-2raiz5),x +2

Passo 3

Caso (b): em Z[x],
f(x)=x^2+3x-4 e g(x)=x^2+2x+3.
– Soma:
h(x)= (1+1),x^2+(3+2),x+(-4+3) =2x^2+5x-1
– Produto (multiplicação usual em Z[x]):
p(x) = x^4+5x^3+5x^2+x-12

Passo 4

Caso (c): em Z11[x],
f(x)=-x^2+3x-4 e g(x)=x^2+2x+3.
– Soma com redução módulo 11:
h(x) =0cdot x^2+(3+2),x+(-4+3) =5,x+10
– Produto: se escrevemos coeficientes como a,
p(x) =10,x^4+1,x^3+10,x^2+1,x+10,
pois cada coeficiente é calculado e depois reduzido em Z11.

Passo 5

Caso (d): em Q[x],
f(x)=3x^3-tfrac12x+2 e g(x)=tfrac23x^2+4x+3.
– Soma:
h(x) =3x^3+tfrac23x^2+l(4-tfrac12r)x+(2+3) =3x^3+tfrac23x^2+tfrac72x+5
– Produto em Q[x]:
p(x) =2x^5+12x^4+tfrac263x^3-tfrac23x^2+tfrac132x+6

Resposta

(a)
h(x)=-x^3+pi x^2+(3-raiz5)x+3
p(x)=-pi x^5-3x^4-(raiz5pi+2)x^3+(pi-3raiz5)x^2+(3-2raiz5)x+2
(b)
h(x)=2x^2+5x-1
p(x)=x^4+5x^3+5x^2+x-12
(c)
h(x)=5,x+10
p(x)=10,x^4+1,x^3+10,x^2+1,x+10
(d)
h(x)=3x^3+tfrac23x^2+tfrac72x+5
p(x)=2x^5+12x^4+tfrac263x^3-tfrac23x^2+tfrac132x+6

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